Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52837 / 26285
↖ ↑ ↗
← N 33.518499°
E110.242310°		 ← 509.22 m → N 33.518499°
E110.247803°		 →
↑
509.23 m
↓
↑
509.23 m
↓
N 33.513919°
E110.242310°		 ← 509.25 m →
259 318 m²		 N 33.513919°
E110.247803°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52837 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26285 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.806236267089844 y=0.401084899902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.806236267089844 × 216)
    floor (0.806236267089844 × 65536)
    floor (52837.5)     		tx = 52837
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.401084899902344 × 216)
    floor (0.401084899902344 × 65536)
    floor (26285.5)     		ty = 26285
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52837 / 26285 ti = "16/52837/26285"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52837/26285.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52837 ÷ 216
    52837 ÷ 65536     		x = 0.806228637695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26285 ÷ 216
    26285 ÷ 65536     		y = 0.401077270507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.806228637695312 × 2 - 1) × π
    0.612457275390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.92409128
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.401077270507812 × 2 - 1) × π
    0.197845458984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.621549840473648
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.92409128} λ = 1.92409128}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.621549840473648))-π/2
    2×atan(1.86181131749471)-π/2
    2×1.0779022494022-π/2
    2.15580449880439-1.57079632675     		φ = 0.58500817
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.92409128} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.242310°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.58500817 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 33.518499°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52837 KachelY 26285 1.92409128 0.58500817 110.242310 33.518499
    Oben rechts KachelX + 1 52838 KachelY 26285 1.92418715 0.58500817 110.247803 33.518499
    Unten links KachelX 52837 KachelY + 1 26286 1.92409128 0.58492824 110.242310 33.513919
    Unten rechts KachelX + 1 52838 KachelY + 1 26286 1.92418715 0.58492824 110.247803 33.513919
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.58500817-0.58492824) × R
    7.99300000000613e-05 × 6371000     		dl = 509.234030000391m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.58500817-0.58492824) × R
    7.99300000000613e-05 × 6371000     		dr = 509.234030000391m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.92409128-1.92418715) × cos(0.58500817) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.833707574390259 × 6371000     		do = 509.218390193924m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.92409128-1.92418715) × cos(0.58492824) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.83375170956808 × 6371000     		du = 509.245347420764m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.58500817)-sin(0.58492824))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.833707574390259-0.83375170956808)×R²
    abs(1.92418715-1.92409128)×4.41351778212029e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.41351778212029e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.41351778212029e-05×40589641000000     		ar = 259318.196895647m²