Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52837 / 26267
↖ ↑ ↗
← N 33.600894°
E110.242310°		 ← 508.73 m → N 33.600894°
E110.247803°		 →
↑
508.79 m
↓
↑
508.79 m
↓
N 33.596319°
E110.242310°		 ← 508.76 m →
258 844 m²		 N 33.596319°
E110.247803°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52837 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26267 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.806236267089844 y=0.400810241699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.806236267089844 × 216)
    floor (0.806236267089844 × 65536)
    floor (52837.5)     		tx = 52837
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.400810241699219 × 216)
    floor (0.400810241699219 × 65536)
    floor (26267.5)     		ty = 26267
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52837 / 26267 ti = "16/52837/26267"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52837/26267.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52837 ÷ 216
    52837 ÷ 65536     		x = 0.806228637695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26267 ÷ 216
    26267 ÷ 65536     		y = 0.400802612304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.806228637695312 × 2 - 1) × π
    0.612457275390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.92409128
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.400802612304688 × 2 - 1) × π
    0.198394775390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.62327556885997
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.92409128} λ = 1.92409128}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.62327556885997))-π/2
    2×atan(1.8650270720967)-π/2
    2×1.07862128290799-π/2
    2.15724256581598-1.57079632675     		φ = 0.58644624
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.92409128} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.242310°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.58644624 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 33.600894°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52837 KachelY 26267 1.92409128 0.58644624 110.242310 33.600894
    Oben rechts KachelX + 1 52838 KachelY 26267 1.92418715 0.58644624 110.247803 33.600894
    Unten links KachelX 52837 KachelY + 1 26268 1.92409128 0.58636638 110.242310 33.596319
    Unten rechts KachelX + 1 52838 KachelY + 1 26268 1.92418715 0.58636638 110.247803 33.596319
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.58644624-0.58636638) × R
    7.98600000000427e-05 × 6371000     		dl = 508.788060000272m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.58644624-0.58636638) × R
    7.98600000000427e-05 × 6371000     		dr = 508.788060000272m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.92409128-1.92418715) × cos(0.58644624) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.832912601430561 × 6371000     		do = 508.73283043266m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.92409128-1.92418715) × cos(0.58636638) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.832956793662051 × 6371000     		du = 508.759822507183m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.58644624)-sin(0.58636638))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.832912601430561-0.832956793662051)×R²
    abs(1.92418715-1.92409128)×4.41922314906584e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.41922314906584e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.41922314906584e-05×40589641000000     		ar = 258844.056614236m²