Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52836 / 26268
↖ ↑ ↗
← N 33.596319°
E110.236816°		 ← 508.81 m → N 33.596319°
E110.242310°		 →
↑
508.79 m
↓
↑
508.79 m
↓
N 33.591743°
E110.236816°		 ← 508.84 m →
258 885 m²		 N 33.591743°
E110.242310°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52836 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26268 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.806221008300781 y=0.400825500488281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.806221008300781 × 216)
    floor (0.806221008300781 × 65536)
    floor (52836.5)     		tx = 52836
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.400825500488281 × 216)
    floor (0.400825500488281 × 65536)
    floor (26268.5)     		ty = 26268
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52836 / 26268 ti = "16/52836/26268"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52836/26268.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52836 ÷ 216
    52836 ÷ 65536     		x = 0.80621337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26268 ÷ 216
    26268 ÷ 65536     		y = 0.40081787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.80621337890625 × 2 - 1) × π
    0.6124267578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.92399540
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40081787109375 × 2 - 1) × π
    0.1983642578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.62317969506073
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.92399540} λ = 1.92399540}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.62317969506073))-π/2
    2×atan(1.86484827343681)-π/2
    2×1.07858135460101-π/2
    2.15716270920203-1.57079632675     		φ = 0.58636638
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.92399540} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.236816°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.58636638 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 33.596319°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52836 KachelY 26268 1.92399540 0.58636638 110.236816 33.596319
    Oben rechts KachelX + 1 52837 KachelY 26268 1.92409128 0.58636638 110.242310 33.596319
    Unten links KachelX 52836 KachelY + 1 26269 1.92399540 0.58628652 110.236816 33.591743
    Unten rechts KachelX + 1 52837 KachelY + 1 26269 1.92409128 0.58628652 110.242310 33.591743
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.58636638-0.58628652) × R
    7.98599999999317e-05 × 6371000     		dl = 508.788059999565m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.58636638-0.58628652) × R
    7.98599999999317e-05 × 6371000     		dr = 508.788059999565m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.92399540-1.92409128) × cos(0.58636638) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.832956793662051 × 6371000     		do = 508.812890185363m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.92399540-1.92409128) × cos(0.58628652) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.83300098058126 × 6371000     		du = 508.839881830359m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.58636638)-sin(0.58628652))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.832956793662051-0.83300098058126)×R²
    abs(1.92409128-1.92399540)×4.41869192089328e-05×R²
    9.58800000001592e-05×4.41869192089328e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×4.41869192089328e-05×40589641000000     		ar = 258884.789951066m²