Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 52832 / 12896
↖ ↑ ↗
← N 80.830907°
W 34.892578°		 ← 48.66 m → N 80.830907°
W 34.889832°		 →
↑
48.67 m
↓
↑
48.67 m
↓
N 80.830469°
W 34.892578°		 ← 48.66 m →
2 369 m²		 N 80.830469°
W 34.889832°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52832 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12896 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.403079986572266 y=0.0983924865722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.403079986572266 × 217)
    floor (0.403079986572266 × 131072)
    floor (52832.5)     		tx = 52832
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0983924865722656 × 217)
    floor (0.0983924865722656 × 131072)
    floor (12896.5)     		ty = 12896
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52832 / 12896 ti = "17/52832/12896"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52832/12896.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52832 ÷ 217
    52832 ÷ 131072     		x = 0.403076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12896 ÷ 217
    12896 ÷ 131072     		y = 0.098388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.403076171875 × 2 - 1) × π
    -0.19384765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.60899037
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.098388671875 × 2 - 1) × π
    0.80322265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.52339839599976
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60899037} λ = -0.60899037}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52339839599976))-π/2
    2×atan(12.4709058076553)-π/2
    2×1.49078089348258-π/2
    2.98156178696515-1.57079632675     		φ = 1.41076546
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60899037} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.892578°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41076546 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.830907°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52832 KachelY 12896 -0.60899037 1.41076546 -34.892578 80.830907
    Oben rechts KachelX + 1 52833 KachelY 12896 -0.60894244 1.41076546 -34.889832 80.830907
    Unten links KachelX 52832 KachelY + 1 12897 -0.60899037 1.41075782 -34.892578 80.830469
    Unten rechts KachelX + 1 52833 KachelY + 1 12897 -0.60894244 1.41075782 -34.889832 80.830469
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41076546-1.41075782) × R
    7.63999999997544e-06 × 6371000     		dl = 48.6744399998436m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41076546-1.41075782) × R
    7.63999999997544e-06 × 6371000     		dr = 48.6744399998436m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60899037--0.60894244) × cos(1.41076546) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.159348679080418 × 6371000     		do = 48.6590361218446m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60899037--0.60894244) × cos(1.41075782) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.159356221454638 × 6371000     		du = 48.6613392765475m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41076546)-sin(1.41075782))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159348679080418-0.159356221454638)×R²
    abs(-0.60894244--0.60899037)×7.54237421995985e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.54237421995985e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.54237421995985e-06×40589641000000     		ar = 2368.50738641029m²