Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52826 / 21685
↖ ↑ ↗
← N 51.873100°
E110.181885°		 ← 377.10 m → N 51.873100°
E110.187378°		 →
↑
377.10 m
↓
↑
377.10 m
↓
N 51.869708°
E110.181885°		 ← 377.13 m →
142 211 m²		 N 51.869708°
E110.187378°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52826 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21685 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.806068420410156 y=0.330894470214844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.806068420410156 × 216)
    floor (0.806068420410156 × 65536)
    floor (52826.5)     		tx = 52826
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.330894470214844 × 216)
    floor (0.330894470214844 × 65536)
    floor (21685.5)     		ty = 21685
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52826 / 21685 ti = "16/52826/21685"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52826/21685.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52826 ÷ 216
    52826 ÷ 65536     		x = 0.806060791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21685 ÷ 216
    21685 ÷ 65536     		y = 0.330886840820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.806060791015625 × 2 - 1) × π
    0.61212158203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.92303667
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.330886840820312 × 2 - 1) × π
    0.338226318359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.06256931697816
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.92303667} λ = 1.92303667}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06256931697816))-π/2
    2×atan(2.89379652645044)-π/2
    2×1.23807635391866-π/2
    2.47615270783733-1.57079632675     		φ = 0.90535638
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.92303667} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.181885°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90535638 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.873100°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52826 KachelY 21685 1.92303667 0.90535638 110.181885 51.873100
    Oben rechts KachelX + 1 52827 KachelY 21685 1.92313254 0.90535638 110.187378 51.873100
    Unten links KachelX 52826 KachelY + 1 21686 1.92303667 0.90529719 110.181885 51.869708
    Unten rechts KachelX + 1 52827 KachelY + 1 21686 1.92313254 0.90529719 110.187378 51.869708
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90535638-0.90529719) × R
    5.91899999999868e-05 × 6371000     		dl = 377.099489999916m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90535638-0.90529719) × R
    5.91899999999868e-05 × 6371000     		dr = 377.099489999916m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.92303667-1.92313254) × cos(0.90535638) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.617405274517508 × 6371000     		do = 377.103590808778m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.92303667-1.92313254) × cos(0.90529719) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.617451834967461 × 6371000     		du = 377.132029362175m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90535638)-sin(0.90529719))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.617405274517508-0.617451834967461)×R²
    abs(1.92313254-1.92303667)×4.65604499533256e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.65604499533256e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.65604499533256e-05×40589641000000     		ar = 142210.933894516m²