Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 52816 / 102224
↖ ↑ ↗
← S 70.451509°
W 34.936523°		 ← 102.18 m → S 70.451509°
W 34.933777°		 →
↑
102.13 m
↓
↑
102.13 m
↓
S 70.452427°
W 34.936523°		 ← 102.17 m →
10 435 m²		 S 70.452427°
W 34.933777°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52816 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102224 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.402957916259766 y=0.779911041259766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.402957916259766 × 217)
    floor (0.402957916259766 × 131072)
    floor (52816.5)     		tx = 52816
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779911041259766 × 217)
    floor (0.779911041259766 × 131072)
    floor (102224.5)     		ty = 102224
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52816 / 102224 ti = "17/52816/102224"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52816/102224.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52816 ÷ 217
    52816 ÷ 131072     		x = 0.4029541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102224 ÷ 217
    102224 ÷ 131072     		y = 0.7799072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4029541015625 × 2 - 1) × π
    -0.194091796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.60975736
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7799072265625 × 2 - 1) × π
    -0.559814453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.75870897326062
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60975736} λ = -0.60975736}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75870897326062))-π/2
    2×atan(0.172267121782232)-π/2
    2×0.170592770817497-π/2
    0.341185541634994-1.57079632675     		φ = -1.22961079
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60975736} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.936523°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22961079 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.451509°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52816 KachelY 102224 -0.60975736 -1.22961079 -34.936523 -70.451509
    Oben rechts KachelX + 1 52817 KachelY 102224 -0.60970943 -1.22961079 -34.933777 -70.451509
    Unten links KachelX 52816 KachelY + 1 102225 -0.60975736 -1.22962682 -34.936523 -70.452427
    Unten rechts KachelX + 1 52817 KachelY + 1 102225 -0.60970943 -1.22962682 -34.933777 -70.452427
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22961079--1.22962682) × R
    1.60300000000557e-05 × 6371000     		dl = 102.127130000355m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22961079--1.22962682) × R
    1.60300000000557e-05 × 6371000     		dr = 102.127130000355m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60975736--0.60970943) × cos(-1.22961079) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.334604527865937 × 6371000     		do = 102.175517876397m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60975736--0.60970943) × cos(-1.22962682) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.334589421813918 × 6371000     		du = 102.170905061687m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22961079)-sin(-1.22962682))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.334604527865937-0.334589421813918)×R²
    abs(-0.60970943--0.60975736)×1.51060520189317e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.51060520189317e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.51060520189317e-05×40589641000000     		ar = 10434.6568503586m²