Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 52814 / 102226
↖ ↑ ↗
← S 70.453346°
W 34.942017°		 ← 102.19 m → S 70.453346°
W 34.939270°		 →
↑
102.19 m
↓
↑
102.19 m
↓
S 70.454265°
W 34.942017°		 ← 102.18 m →
10 442 m²		 S 70.454265°
W 34.939270°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52814 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102226 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.402942657470703 y=0.779926300048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.402942657470703 × 217)
    floor (0.402942657470703 × 131072)
    floor (52814.5)     		tx = 52814
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779926300048828 × 217)
    floor (0.779926300048828 × 131072)
    floor (102226.5)     		ty = 102226
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52814 / 102226 ti = "17/52814/102226"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52814/102226.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52814 ÷ 217
    52814 ÷ 131072     		x = 0.402938842773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102226 ÷ 217
    102226 ÷ 131072     		y = 0.779922485351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.402938842773438 × 2 - 1) × π
    -0.194122314453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.60985324
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779922485351562 × 2 - 1) × π
    -0.559844970703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.75880484705986
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.60985324} λ = -0.60985324}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75880484705986))-π/2
    2×atan(0.172250606670479)-π/2
    2×0.170576731638177-π/2
    0.341153463276355-1.57079632675     		φ = -1.22964286
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.60985324} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.942017°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22964286 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.453346°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52814 KachelY 102226 -0.60985324 -1.22964286 -34.942017 -70.453346
    Oben rechts KachelX + 1 52815 KachelY 102226 -0.60980530 -1.22964286 -34.939270 -70.453346
    Unten links KachelX 52814 KachelY + 1 102227 -0.60985324 -1.22965890 -34.942017 -70.454265
    Unten rechts KachelX + 1 52815 KachelY + 1 102227 -0.60980530 -1.22965890 -34.939270 -70.454265
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22964286--1.22965890) × R
    1.60399999999949e-05 × 6371000     		dl = 102.190839999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22964286--1.22965890) × R
    1.60399999999949e-05 × 6371000     		dr = 102.190839999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.60985324--0.60980530) × cos(-1.22964286) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.334574306252229 × 6371000     		do = 102.187605072007m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.60985324--0.60980530) × cos(-1.22965890) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.33455919060446 × 6371000     		du = 102.182988364101m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22964286)-sin(-1.22965890))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.334574306252229-0.33455919060446)×R²
    abs(-0.60980530--0.60985324)×1.5115647768793e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.5115647768793e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.5115647768793e-05×40589641000000     		ar = 10442.4013074049m²