Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 5281 / 2782
↖ ↑ ↗
← N 81.573189°
W121.981201°		 ← 179.03 m → N 81.573189°
W121.970215°		 →
↑
179.09 m
↓
↑
179.09 m
↓
N 81.571578°
W121.981201°		 ← 179.06 m →
32 065 m²		 N 81.571578°
W121.970215°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5281 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2782 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.161178588867188 y=0.0849151611328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.161178588867188 × 215)
    floor (0.161178588867188 × 32768)
    floor (5281.5)     		tx = 5281
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0849151611328125 × 215)
    floor (0.0849151611328125 × 32768)
    floor (2782.5)     		ty = 2782
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5281 / 2782 ti = "15/5281/2782"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5281/2782.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5281 ÷ 215
    5281 ÷ 32768     		x = 0.161163330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2782 ÷ 215
    2782 ÷ 32768     		y = 0.08489990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.161163330078125 × 2 - 1) × π
    -0.67767333984375 × 3.1415926535     		Λ = -2.12897359
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08489990234375 × 2 - 1) × π
    0.8302001953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.60815083452802
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.12897359} λ = -2.12897359}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.60815083452802))-π/2
    2×atan(13.5739271926046)-π/2
    2×1.4972585265006-π/2
    2.99451705300119-1.57079632675     		φ = 1.42372073
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.12897359} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.981201°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42372073 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.573189°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5281 KachelY 2782 -2.12897359 1.42372073 -121.981201 81.573189
    Oben rechts KachelX + 1 5282 KachelY 2782 -2.12878184 1.42372073 -121.970215 81.573189
    Unten links KachelX 5281 KachelY + 1 2783 -2.12897359 1.42369262 -121.981201 81.571578
    Unten rechts KachelX + 1 5282 KachelY + 1 2783 -2.12878184 1.42369262 -121.970215 81.571578
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42372073-1.42369262) × R
    2.81100000001366e-05 × 6371000     		dl = 179.088810000871m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42372073-1.42369262) × R
    2.81100000001366e-05 × 6371000     		dr = 179.088810000871m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.12897359--2.12878184) × cos(1.42372073) × R
    0.000191750000000379 × 0.146545932278657 × 6371000     		do = 179.026262799804m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.12897359--2.12878184) × cos(1.42369262) × R
    0.000191750000000379 × 0.146573738741446 × 6371000     		du = 179.06023226615m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42372073)-sin(1.42369262))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146545932278657-0.146573738741446)×R²
    abs(-2.12878184--2.12897359)×2.78064627888541e-05×R²
    0.000191750000000379×2.78064627888541e-05×6371000²
    0.000191750000000379×2.78064627888541e-05×40589641000000     		ar = 32064.6421412895m²