Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52809 / 21705
↖ ↑ ↗
← N 51.805218°
E110.088501°		 ← 377.67 m → N 51.805218°
E110.093994°		 →
↑
377.74 m
↓
↑
377.74 m
↓
N 51.801821°
E110.088501°		 ← 377.70 m →
142 666 m²		 N 51.801821°
E110.093994°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52809 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21705 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.805809020996094 y=0.331199645996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.805809020996094 × 216)
    floor (0.805809020996094 × 65536)
    floor (52809.5)     		tx = 52809
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331199645996094 × 216)
    floor (0.331199645996094 × 65536)
    floor (21705.5)     		ty = 21705
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52809 / 21705 ti = "16/52809/21705"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52809/21705.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52809 ÷ 216
    52809 ÷ 65536     		x = 0.805801391601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21705 ÷ 216
    21705 ÷ 65536     		y = 0.331192016601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.805801391601562 × 2 - 1) × π
    0.611602783203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.92140681
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.331192016601562 × 2 - 1) × π
    0.337615966796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.06065184099336
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.92140681} λ = 1.92140681}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.06065184099336))-π/2
    2×atan(2.8882530575388)-π/2
    2×1.23748397751441-π/2
    2.47496795502882-1.57079632675     		φ = 0.90417163
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.92140681} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 110.088501°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90417163 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.805218°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52809 KachelY 21705 1.92140681 0.90417163 110.088501 51.805218
    Oben rechts KachelX + 1 52810 KachelY 21705 1.92150268 0.90417163 110.093994 51.805218
    Unten links KachelX 52809 KachelY + 1 21706 1.92140681 0.90411234 110.088501 51.801821
    Unten rechts KachelX + 1 52810 KachelY + 1 21706 1.92150268 0.90411234 110.093994 51.801821
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90417163-0.90411234) × R
    5.92900000000451e-05 × 6371000     		dl = 377.736590000288m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90417163-0.90411234) × R
    5.92900000000451e-05 × 6371000     		dr = 377.736590000288m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.92140681-1.92150268) × cos(0.90417163) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.618336818937566 × 6371000     		do = 377.672566747762m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.92140681-1.92150268) × cos(0.90411234) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.618383414645116 × 6371000     		du = 377.701026836067m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90417163)-sin(0.90411234))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.618336818937566-0.618383414645116)×R²
    abs(1.92150268-1.92140681)×4.65957075497236e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.65957075497236e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.65957075497236e-05×40589641000000     		ar = 142666.122750343m²