Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 52808 / 11848
↖ ↑ ↗
← N 81.278386°
W 34.958496°		 ← 46.31 m → N 81.278386°
W 34.955749°		 →
↑
46.32 m
↓
↑
46.32 m
↓
N 81.277969°
W 34.958496°		 ← 46.32 m →
2 145 m²		 N 81.277969°
W 34.955749°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52808 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11848 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.402896881103516 y=0.0903968811035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.402896881103516 × 217)
    floor (0.402896881103516 × 131072)
    floor (52808.5)     		tx = 52808
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0903968811035156 × 217)
    floor (0.0903968811035156 × 131072)
    floor (11848.5)     		ty = 11848
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52808 / 11848 ti = "17/52808/11848"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52808/11848.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52808 ÷ 217
    52808 ÷ 131072     		x = 0.40289306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11848 ÷ 217
    11848 ÷ 131072     		y = 0.09039306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40289306640625 × 2 - 1) × π
    -0.1942138671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.61014086
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09039306640625 × 2 - 1) × π
    0.8192138671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.57363626680157
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61014086} λ = -0.61014086}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.57363626680157))-π/2
    2×atan(13.1134217503964)-π/2
    2×1.4946858851591-π/2
    2.9893717703182-1.57079632675     		φ = 1.41857544
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61014086} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.958496°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41857544 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.278386°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52808 KachelY 11848 -0.61014086 1.41857544 -34.958496 81.278386
    Oben rechts KachelX + 1 52809 KachelY 11848 -0.61009292 1.41857544 -34.955749 81.278386
    Unten links KachelX 52808 KachelY + 1 11849 -0.61014086 1.41856817 -34.958496 81.277969
    Unten rechts KachelX + 1 52809 KachelY + 1 11849 -0.61009292 1.41856817 -34.955749 81.277969
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41857544-1.41856817) × R
    7.27000000000366e-06 × 6371000     		dl = 46.3171700000233m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41857544-1.41856817) × R
    7.27000000000366e-06 × 6371000     		dr = 46.3171700000233m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61014086--0.61009292) × cos(1.41857544) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.15163371075902 × 6371000     		do = 46.3128383174893m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61014086--0.61009292) × cos(1.41856817) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.151640896690219 × 6371000     		du = 46.3150330858432m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41857544)-sin(1.41856817))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15163371075902-0.151640896690219)×R²
    abs(-0.61009292--0.61014086)×7.18593119844457e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.18593119844457e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.18593119844457e-06×40589641000000     		ar = 2145.13043344632m²