Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 52805 / 102209
↖ ↑ ↗
← S 70.437719°
W 34.966736°		 ← 102.27 m → S 70.437719°
W 34.963989°		 →
↑
102.25 m
↓
↑
102.25 m
↓
S 70.438638°
W 34.966736°		 ← 102.26 m →
10 457 m²		 S 70.438638°
W 34.963989°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52805 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102209 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.402873992919922 y=0.779796600341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.402873992919922 × 217)
    floor (0.402873992919922 × 131072)
    floor (52805.5)     		tx = 52805
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779796600341797 × 217)
    floor (0.779796600341797 × 131072)
    floor (102209.5)     		ty = 102209
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52805 / 102209 ti = "17/52805/102209"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52805/102209.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52805 ÷ 217
    52805 ÷ 131072     		x = 0.402870178222656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102209 ÷ 217
    102209 ÷ 131072     		y = 0.779792785644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.402870178222656 × 2 - 1) × π
    -0.194259643554688 × 3.1415926535     		Λ = -0.61028467
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779792785644531 × 2 - 1) × π
    -0.559585571289062 × 3.1415926535     		Φ = -1.75798991976632
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61028467} λ = -0.61028467}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75798991976632))-π/2
    2×atan(0.172391035603097)-π/2
    2×0.170713110862441-π/2
    0.341426221724883-1.57079632675     		φ = -1.22937011
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61028467} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.966736°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22937011 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.437719°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52805 KachelY 102209 -0.61028467 -1.22937011 -34.966736 -70.437719
    Oben rechts KachelX + 1 52806 KachelY 102209 -0.61023673 -1.22937011 -34.963989 -70.437719
    Unten links KachelX 52805 KachelY + 1 102210 -0.61028467 -1.22938616 -34.966736 -70.438638
    Unten rechts KachelX + 1 52806 KachelY + 1 102210 -0.61023673 -1.22938616 -34.963989 -70.438638
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22937011--1.22938616) × R
    1.60499999999342e-05 × 6371000     		dl = 102.254549999581m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22937011--1.22938616) × R
    1.60499999999342e-05 × 6371000     		dr = 102.254549999581m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61028467--0.61023673) × cos(-1.22937011) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.33483132505038 × 6371000     		do = 102.266105228626m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61028467--0.61023673) × cos(-1.22938616) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.334816201444038 × 6371000     		du = 102.261486089967m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22937011)-sin(-1.22938616))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.33483132505038-0.334816201444038)×R²
    abs(-0.61023673--0.61028467)×1.51236063415938e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.51236063415938e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.51236063415938e-05×40589641000000     		ar = 10456.9384066111m²