Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 52803 / 11324
↖ ↑ ↗
← N 81.493931°
W 34.972229°		 ← 45.17 m → N 81.493931°
W 34.969483°		 →
↑
45.17 m
↓
↑
45.17 m
↓
N 81.493525°
W 34.972229°		 ← 45.17 m →
2 040 m²		 N 81.493525°
W 34.969483°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52803 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11324 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.402858734130859 y=0.0863990783691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.402858734130859 × 217)
    floor (0.402858734130859 × 131072)
    floor (52803.5)     		tx = 52803
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0863990783691406 × 217)
    floor (0.0863990783691406 × 131072)
    floor (11324.5)     		ty = 11324
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52803 / 11324 ti = "17/52803/11324"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52803/11324.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52803 ÷ 217
    52803 ÷ 131072     		x = 0.402854919433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11324 ÷ 217
    11324 ÷ 131072     		y = 0.086395263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.402854919433594 × 2 - 1) × π
    -0.194290161132812 × 3.1415926535     		Λ = -0.61038054
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.086395263671875 × 2 - 1) × π
    0.82720947265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.59875520220248
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61038054} λ = -0.61038054}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.59875520220248))-π/2
    2×atan(13.4469888303987)-π/2
    2×1.49656687164381-π/2
    2.99313374328762-1.57079632675     		φ = 1.42233742
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61038054} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.972229°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42233742 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.493931°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52803 KachelY 11324 -0.61038054 1.42233742 -34.972229 81.493931
    Oben rechts KachelX + 1 52804 KachelY 11324 -0.61033261 1.42233742 -34.969483 81.493931
    Unten links KachelX 52803 KachelY + 1 11325 -0.61038054 1.42233033 -34.972229 81.493525
    Unten rechts KachelX + 1 52804 KachelY + 1 11325 -0.61033261 1.42233033 -34.969483 81.493525
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42233742-1.42233033) × R
    7.08999999998738e-06 × 6371000     		dl = 45.1703899999196m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42233742-1.42233033) × R
    7.08999999998738e-06 × 6371000     		dr = 45.1703899999196m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61038054--0.61033261) × cos(1.42233742) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.147914167231771 × 6371000     		do = 45.1673703715761m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61038054--0.61033261) × cos(1.42233033) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.147921179239484 × 6371000     		du = 45.1695115724857m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42233742)-sin(1.42233033))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.147914167231771-0.147921179239484)×R²
    abs(-0.61033261--0.61038054)×7.01200771291433e-06×R²
    4.79299999999183e-05×7.01200771291433e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×7.01200771291433e-06×40589641000000     		ar = 2040.27609440541m²