Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 52803 / 102210
↖ ↑ ↗
← S 70.438638°
W 34.972229°		 ← 102.24 m → S 70.438638°
W 34.969483°		 →
↑
102.25 m
↓
↑
102.25 m
↓
S 70.439558°
W 34.972229°		 ← 102.24 m →
10 454 m²		 S 70.439558°
W 34.969483°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52803 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102210 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.402858734130859 y=0.779804229736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.402858734130859 × 217)
    floor (0.402858734130859 × 131072)
    floor (52803.5)     		tx = 52803
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779804229736328 × 217)
    floor (0.779804229736328 × 131072)
    floor (102210.5)     		ty = 102210
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52803 / 102210 ti = "17/52803/102210"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52803/102210.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52803 ÷ 217
    52803 ÷ 131072     		x = 0.402854919433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102210 ÷ 217
    102210 ÷ 131072     		y = 0.779800415039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.402854919433594 × 2 - 1) × π
    -0.194290161132812 × 3.1415926535     		Λ = -0.61038054
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779800415039062 × 2 - 1) × π
    -0.559600830078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.75803785666594
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61038054} λ = -0.61038054}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75803785666594))-π/2
    2×atan(0.172382771909398)-π/2
    2×0.170705085655771-π/2
    0.341410171311543-1.57079632675     		φ = -1.22938616
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61038054} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.972229°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22938616 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.438638°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52803 KachelY 102210 -0.61038054 -1.22938616 -34.972229 -70.438638
    Oben rechts KachelX + 1 52804 KachelY 102210 -0.61033261 -1.22938616 -34.969483 -70.438638
    Unten links KachelX 52803 KachelY + 1 102211 -0.61038054 -1.22940221 -34.972229 -70.439558
    Unten rechts KachelX + 1 52804 KachelY + 1 102211 -0.61033261 -1.22940221 -34.969483 -70.439558
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22938616--1.22940221) × R
    1.60499999999342e-05 × 6371000     		dl = 102.254549999581m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22938616--1.22940221) × R
    1.60499999999342e-05 × 6371000     		dr = 102.254549999581m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61038054--0.61033261) × cos(-1.22938616) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.334816201444038 × 6371000     		do = 102.240154949666m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61038054--0.61033261) × cos(-1.22940221) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.334801077751447 × 6371000     		du = 102.235536748196m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22938616)-sin(-1.22940221))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.334816201444038-0.334801077751447)×R²
    abs(-0.61033261--0.61038054)×1.51236925911569e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.51236925911569e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.51236925911569e-05×40589641000000     		ar = 10454.284920359m²