Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 52800 / 102080
↖ ↑ ↗
← S 70.318738°
W 34.980469°		 ← 102.84 m → S 70.318738°
W 34.977722°		 →
↑
102.89 m
↓
↑
102.89 m
↓
S 70.319664°
W 34.980469°		 ← 102.84 m →
10 581 m²		 S 70.319664°
W 34.977722°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52800 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102080 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.402835845947266 y=0.778812408447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.402835845947266 × 217)
    floor (0.402835845947266 × 131072)
    floor (52800.5)     		tx = 52800
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778812408447266 × 217)
    floor (0.778812408447266 × 131072)
    floor (102080.5)     		ty = 102080
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52800 / 102080 ti = "17/52800/102080"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52800/102080.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52800 ÷ 217
    52800 ÷ 131072     		x = 0.40283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102080 ÷ 217
    102080 ÷ 131072     		y = 0.77880859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40283203125 × 2 - 1) × π
    -0.1943359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.61052435
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77880859375 × 2 - 1) × π
    -0.5576171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.75180605971533
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61052435} λ = -0.61052435}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75180605971533))-π/2
    2×atan(0.173460380573478)-π/2
    2×0.171751407256281-π/2
    0.343502814512562-1.57079632675     		φ = -1.22729351
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61052435} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.980469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22729351 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.318738°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52800 KachelY 102080 -0.61052435 -1.22729351 -34.980469 -70.318738
    Oben rechts KachelX + 1 52801 KachelY 102080 -0.61047642 -1.22729351 -34.977722 -70.318738
    Unten links KachelX 52800 KachelY + 1 102081 -0.61052435 -1.22730966 -34.980469 -70.319664
    Unten rechts KachelX + 1 52801 KachelY + 1 102081 -0.61047642 -1.22730966 -34.977722 -70.319664
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22729351--1.22730966) × R
    1.61499999999926e-05 × 6371000     		dl = 102.891649999953m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22729351--1.22730966) × R
    1.61499999999926e-05 × 6371000     		dr = 102.891649999953m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61052435--0.61047642) × cos(-1.22729351) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.336787336368205 × 6371000     		do = 102.842064711751m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61052435--0.61047642) × cos(-1.22730966) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.336772129795333 × 6371000     		du = 102.837421201789m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22729351)-sin(-1.22730966))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336787336368205-0.336772129795333)×R²
    abs(-0.61047642--0.61052435)×1.52065728722395e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.52065728722395e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.52065728722395e-05×40589641000000     		ar = 10581.3508385406m²