Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5280 / 3295
↖ ↑ ↗
← N 80.705771°
W121.992187°		 ← 197.29 m → N 80.705771°
W121.981201°		 →
↑
197.31 m
↓
↑
197.31 m
↓
N 80.703997°
W121.992187°		 ← 197.33 m →
38 931 m²		 N 80.703997°
W121.981201°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5280 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3295 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.161148071289062 y=0.100570678710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.161148071289062 × 215)
    floor (0.161148071289062 × 32768)
    floor (5280.5)     		tx = 5280
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.100570678710938 × 215)
    floor (0.100570678710938 × 32768)
    floor (3295.5)     		ty = 3295
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5280 / 3295 ti = "15/5280/3295"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5280/3295.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5280 ÷ 215
    5280 ÷ 32768     		x = 0.1611328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3295 ÷ 215
    3295 ÷ 32768     		y = 0.100555419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1611328125 × 2 - 1) × π
    -0.677734375 × 3.1415926535     		Λ = -2.12916533
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.100555419921875 × 2 - 1) × π
    0.79888916015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.50978431650766
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.12916533} λ = -2.12916533}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50978431650766))-π/2
    2×atan(12.3022763764102)-π/2
    2×1.48968887958835-π/2
    2.9793777591767-1.57079632675     		φ = 1.40858143
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.12916533} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.992187°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40858143 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.705771°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5280 KachelY 3295 -2.12916533 1.40858143 -121.992187 80.705771
    Oben rechts KachelX + 1 5281 KachelY 3295 -2.12897359 1.40858143 -121.981201 80.705771
    Unten links KachelX 5280 KachelY + 1 3296 -2.12916533 1.40855046 -121.992187 80.703997
    Unten rechts KachelX + 1 5281 KachelY + 1 3296 -2.12897359 1.40855046 -121.981201 80.703997
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40858143-1.40855046) × R
    3.09699999998525e-05 × 6371000     		dl = 197.30986999906m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40858143-1.40855046) × R
    3.09699999998525e-05 × 6371000     		dr = 197.30986999906m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.12916533--2.12897359) × cos(1.40858143) × R
    0.000191739999999996 × 0.161504420583294 × 6371000     		do = 197.28984978642m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.12916533--2.12897359) × cos(1.40855046) × R
    0.000191739999999996 × 0.161534983931327 × 6371000     		du = 197.327185224798m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40858143)-sin(1.40855046))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.161504420583294-0.161534983931327)×R²
    abs(-2.12897359--2.12916533)×3.0563348033058e-05×R²
    0.000191739999999996×3.0563348033058e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.0563348033058e-05×40589641000000     		ar = 38930.9179419615m²