Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 528 / 1647
↖ ↑ ↗
← N 33.211116°
W133.593750°		 ← 8 176.65 m → N 33.211116°
W133.505860°		 →
↑
8 180.11 m
↓
↑
8 180.11 m
↓
N 33.137551°
W133.593750°		 ← 8 183.51 m →
66 913 965 m²		 N 33.137551°
W133.505860°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 528 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1647 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.1290283203125 y=0.4022216796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.1290283203125 × 212)
    floor (0.1290283203125 × 4096)
    floor (528.5)     		tx = 528
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4022216796875 × 212)
    floor (0.4022216796875 × 4096)
    floor (1647.5)     		ty = 1647
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 528 / 1647 ti = "12/528/1647"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/528/1647.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 528 ÷ 212
    528 ÷ 4096     		x = 0.12890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1647 ÷ 212
    1647 ÷ 4096     		y = 0.402099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12890625 × 2 - 1) × π
    -0.7421875 × 3.1415926535     		Λ = -2.33165080
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.402099609375 × 2 - 1) × π
    0.19580078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.615126295924561
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33165080} λ = -2.33165080}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.615126295924561))-π/2
    2×atan(1.84989021840093)-π/2
    2×1.07521982874359-π/2
    2.15043965748719-1.57079632675     		φ = 0.57964333
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33165080} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.593750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.57964333 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 33.211116°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 528 KachelY 1647 -2.33165080 0.57964333 -133.593750 33.211116
    Oben rechts KachelX + 1 529 KachelY 1647 -2.33011682 0.57964333 -133.505860 33.211116
    Unten links KachelX 528 KachelY + 1 1648 -2.33165080 0.57835937 -133.593750 33.137551
    Unten rechts KachelX + 1 529 KachelY + 1 1648 -2.33011682 0.57835937 -133.505860 33.137551
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.57964333-0.57835937) × R
    0.00128395999999997 × 6371000     		dl = 8180.10915999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.57964333-0.57835937) × R
    0.00128395999999997 × 6371000     		dr = 8180.10915999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33165080--2.33011682) × cos(0.57964333) × R
    0.0015339799999996 × 0.836658060403913 × 6371000     		do = 8176.64799637415m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33165080--2.33011682) × cos(0.57835937) × R
    0.0015339799999996 × 0.837360628284139 × 6371000     		du = 8183.51418283914m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.57964333)-sin(0.57835937))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.836658060403913-0.837360628284139)×R²
    abs(-2.33011682--2.33165080)×0.00070256788022649×R²
    0.0015339799999996×0.00070256788022649×6371000²
    0.0015339799999996×0.00070256788022649×40589641000000     		ar = 66913965.4432354m²