Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 528 / 1555
↖ ↑ ↗
← N 39.707186°
W133.593750°		 ← 7 518.55 m → N 39.707186°
W133.505860°		 →
↑
7 522.24 m
↓
↑
7 522.24 m
↓
N 39.639537°
W133.593750°		 ← 7 525.92 m →
56 584 037 m²		 N 39.639537°
W133.505860°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 528 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1555 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.1290283203125 y=0.3797607421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.1290283203125 × 212)
    floor (0.1290283203125 × 4096)
    floor (528.5)     		tx = 528
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3797607421875 × 212)
    floor (0.3797607421875 × 4096)
    floor (1555.5)     		ty = 1555
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 528 / 1555 ti = "12/528/1555"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/528/1555.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 528 ÷ 212
    528 ÷ 4096     		x = 0.12890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1555 ÷ 212
    1555 ÷ 4096     		y = 0.379638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12890625 × 2 - 1) × π
    -0.7421875 × 3.1415926535     		Λ = -2.33165080
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.379638671875 × 2 - 1) × π
    0.24072265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.756252528406006
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33165080} λ = -2.33165080}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.756252528406006))-π/2
    2×atan(2.13027808684989)-π/2
    2×1.13190873532193-π/2
    2.26381747064385-1.57079632675     		φ = 0.69302114
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33165080} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.593750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69302114 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.707186°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 528 KachelY 1555 -2.33165080 0.69302114 -133.593750 39.707186
    Oben rechts KachelX + 1 529 KachelY 1555 -2.33011682 0.69302114 -133.505860 39.707186
    Unten links KachelX 528 KachelY + 1 1556 -2.33165080 0.69184044 -133.593750 39.639537
    Unten rechts KachelX + 1 529 KachelY + 1 1556 -2.33011682 0.69184044 -133.505860 39.639537
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69302114-0.69184044) × R
    0.00118070000000003 × 6371000     		dl = 7522.23970000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69302114-0.69184044) × R
    0.00118070000000003 × 6371000     		dr = 7522.23970000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33165080--2.33011682) × cos(0.69302114) × R
    0.0015339799999996 × 0.769319430290659 × 6371000     		do = 7518.5484679619m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33165080--2.33011682) × cos(0.69184044) × R
    0.0015339799999996 × 0.770073200977456 × 6371000     		du = 7525.91505876837m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69302114)-sin(0.69184044))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.769319430290659-0.770073200977456)×R²
    abs(-2.33011682--2.33165080)×0.000753770686797828×R²
    0.0015339799999996×0.000753770686797828×6371000²
    0.0015339799999996×0.000753770686797828×40589641000000     		ar = 56584036.9764174m²