Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 52794 / 102089
↖ ↑ ↗
← S 70.327062°
W 34.996948°		 ← 102.80 m → S 70.327062°
W 34.994202°		 →
↑
102.83 m
↓
↑
102.83 m
↓
S 70.327986°
W 34.996948°		 ← 102.80 m →
10 571 m²		 S 70.327986°
W 34.994202°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52794 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102089 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.402790069580078 y=0.778881072998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.402790069580078 × 217)
    floor (0.402790069580078 × 131072)
    floor (52794.5)     		tx = 52794
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778881072998047 × 217)
    floor (0.778881072998047 × 131072)
    floor (102089.5)     		ty = 102089
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52794 / 102089 ti = "17/52794/102089"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52794/102089.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52794 ÷ 217
    52794 ÷ 131072     		x = 0.402786254882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102089 ÷ 217
    102089 ÷ 131072     		y = 0.778877258300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.402786254882812 × 2 - 1) × π
    -0.194427490234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.61081197
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778877258300781 × 2 - 1) × π
    -0.557754516601562 × 3.1415926535     		Φ = -1.75223749181191
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61081197} λ = -0.61081197}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75223749181191))-π/2
    2×atan(0.173385560338899)-π/2
    2×0.171678771578012-π/2
    0.343357543156024-1.57079632675     		φ = -1.22743878
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61081197} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.996948°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22743878 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.327062°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52794 KachelY 102089 -0.61081197 -1.22743878 -34.996948 -70.327062
    Oben rechts KachelX + 1 52795 KachelY 102089 -0.61076404 -1.22743878 -34.994202 -70.327062
    Unten links KachelX 52794 KachelY + 1 102090 -0.61081197 -1.22745492 -34.996948 -70.327986
    Unten rechts KachelX + 1 52795 KachelY + 1 102090 -0.61076404 -1.22745492 -34.994202 -70.327986
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22743878--1.22745492) × R
    1.61400000000533e-05 × 6371000     		dl = 102.82794000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22743878--1.22745492) × R
    1.61400000000533e-05 × 6371000     		dr = 102.82794000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61081197--0.61076404) × cos(-1.22743878) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.336650549380903 × 6371000     		do = 102.800295159631m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61081197--0.61076404) × cos(-1.22745492) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.336635351434419 × 6371000     		du = 102.795654283841m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22743878)-sin(-1.22745492))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336650549380903-0.336635351434419)×R²
    abs(-0.61076404--0.61081197)×1.5197946483414e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.5197946483414e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.5197946483414e-05×40589641000000     		ar = 10570.5039770469m²