Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 52794 / 102075
↖ ↑ ↗
← S 70.314113°
W 34.996948°		 ← 102.87 m → S 70.314113°
W 34.994202°		 →
↑
102.89 m
↓
↑
102.89 m
↓
S 70.315038°
W 34.996948°		 ← 102.86 m →
10 584 m²		 S 70.315038°
W 34.994202°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52794 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102075 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.402790069580078 y=0.778774261474609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.402790069580078 × 217)
    floor (0.402790069580078 × 131072)
    floor (52794.5)     		tx = 52794
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778774261474609 × 217)
    floor (0.778774261474609 × 131072)
    floor (102075.5)     		ty = 102075
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52794 / 102075 ti = "17/52794/102075"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52794/102075.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52794 ÷ 217
    52794 ÷ 131072     		x = 0.402786254882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102075 ÷ 217
    102075 ÷ 131072     		y = 0.778770446777344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.402786254882812 × 2 - 1) × π
    -0.194427490234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.61081197
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778770446777344 × 2 - 1) × π
    -0.557540893554688 × 3.1415926535     		Φ = -1.75156637521723
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61081197} λ = -0.61081197}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75156637521723))-π/2
    2×atan(0.173501961320667)-π/2
    2×0.171791773162586-π/2
    0.343583546325171-1.57079632675     		φ = -1.22721278
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61081197} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.996948°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22721278 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.314113°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52794 KachelY 102075 -0.61081197 -1.22721278 -34.996948 -70.314113
    Oben rechts KachelX + 1 52795 KachelY 102075 -0.61076404 -1.22721278 -34.994202 -70.314113
    Unten links KachelX 52794 KachelY + 1 102076 -0.61081197 -1.22722893 -34.996948 -70.315038
    Unten rechts KachelX + 1 52795 KachelY + 1 102076 -0.61076404 -1.22722893 -34.994202 -70.315038
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22721278--1.22722893) × R
    1.61500000002146e-05 × 6371000     		dl = 102.891650001367m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22721278--1.22722893) × R
    1.61500000002146e-05 × 6371000     		dr = 102.891650001367m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61081197--0.61076404) × cos(-1.22721278) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.336863349083791 × 6371000     		do = 102.865276108888m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61081197--0.61076404) × cos(-1.22722893) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.336848142950058 × 6371000     		du = 102.860632733023m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22721278)-sin(-1.22722893))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336863349083791-0.336848142950058)×R²
    abs(-0.61076404--0.61081197)×1.52061337330145e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.52061337330145e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.52061337330145e-05×40589641000000     		ar = 10583.7391046068m²