Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 52793 / 102105
↖ ↑ ↗
← S 70.341851°
W 34.999695°		 ← 102.75 m → S 70.341851°
W 34.996948°		 →
↑
102.70 m
↓
↑
102.70 m
↓
S 70.342775°
W 34.999695°		 ← 102.74 m →
10 552 m²		 S 70.342775°
W 34.996948°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52793 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102105 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.402782440185547 y=0.779003143310547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.402782440185547 × 217)
    floor (0.402782440185547 × 131072)
    floor (52793.5)     		tx = 52793
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779003143310547 × 217)
    floor (0.779003143310547 × 131072)
    floor (102105.5)     		ty = 102105
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52793 / 102105 ti = "17/52793/102105"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52793/102105.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52793 ÷ 217
    52793 ÷ 131072     		x = 0.402778625488281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102105 ÷ 217
    102105 ÷ 131072     		y = 0.778999328613281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.402778625488281 × 2 - 1) × π
    -0.194442749023438 × 3.1415926535     		Λ = -0.61085991
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778999328613281 × 2 - 1) × π
    -0.557998657226562 × 3.1415926535     		Φ = -1.75300448220583
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61085991} λ = -0.61085991}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75300448220583))-π/2
    2×atan(0.17325262626577)-π/2
    2×0.171549714321552-π/2
    0.343099428643104-1.57079632675     		φ = -1.22769690
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61085991} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.999695°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22769690 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.341851°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52793 KachelY 102105 -0.61085991 -1.22769690 -34.999695 -70.341851
    Oben rechts KachelX + 1 52794 KachelY 102105 -0.61081197 -1.22769690 -34.996948 -70.341851
    Unten links KachelX 52793 KachelY + 1 102106 -0.61085991 -1.22771302 -34.999695 -70.342775
    Unten rechts KachelX + 1 52794 KachelY + 1 102106 -0.61081197 -1.22771302 -34.996948 -70.342775
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22769690--1.22771302) × R
    1.61199999999528e-05 × 6371000     		dl = 102.7005199997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22769690--1.22771302) × R
    1.61199999999528e-05 × 6371000     		dr = 102.7005199997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61085991--0.61081197) × cos(-1.22769690) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.336407484722166 × 6371000     		do = 102.747504962739m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61085991--0.61081197) × cos(-1.22771302) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.336392304208154 × 6371000     		du = 102.742868443013m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22769690)-sin(-1.22771302))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336407484722166-0.336392304208154)×R²
    abs(-0.61081197--0.61085991)×1.51805140117256e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.51805140117256e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.51805140117256e-05×40589641000000     		ar = 10551.9841021004m²