Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 52792 / 13128
↖ ↑ ↗
← N 80.728809°
W 35.002441°		 ← 49.21 m → N 80.728809°
W 34.999695°		 →
↑
49.18 m
↓
↑
49.18 m
↓
N 80.728367°
W 35.002441°		 ← 49.21 m →
2 420 m²		 N 80.728367°
W 34.999695°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52792 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13128 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.402774810791016 y=0.100162506103516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.402774810791016 × 217)
    floor (0.402774810791016 × 131072)
    floor (52792.5)     		tx = 52792
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.100162506103516 × 217)
    floor (0.100162506103516 × 131072)
    floor (13128.5)     		ty = 13128
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52792 / 13128 ti = "17/52792/13128"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52792/13128.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52792 ÷ 217
    52792 ÷ 131072     		x = 0.40277099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13128 ÷ 217
    13128 ÷ 131072     		y = 0.10015869140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40277099609375 × 2 - 1) × π
    -0.1944580078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.61090785
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10015869140625 × 2 - 1) × π
    0.7996826171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.5122770352879
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61090785} λ = -0.61090785}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.5122770352879))-π/2
    2×atan(12.3329807445521)-π/2
    2×1.48988992474477-π/2
    2.97977984948955-1.57079632675     		φ = 1.40898352
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61090785} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.002441°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40898352 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.728809°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52792 KachelY 13128 -0.61090785 1.40898352 -35.002441 80.728809
    Oben rechts KachelX + 1 52793 KachelY 13128 -0.61085991 1.40898352 -34.999695 80.728809
    Unten links KachelX 52792 KachelY + 1 13129 -0.61090785 1.40897580 -35.002441 80.728367
    Unten rechts KachelX + 1 52793 KachelY + 1 13129 -0.61085991 1.40897580 -34.999695 80.728367
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40898352-1.40897580) × R
    7.72000000015538e-06 × 6371000     		dl = 49.1841200009899m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40898352-1.40897580) × R
    7.72000000015538e-06 × 6371000     		dr = 49.1841200009899m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61090785--0.61085991) × cos(1.40898352) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.161107596180315 × 6371000     		do = 49.2064067830757m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61090785--0.61085991) × cos(1.40897580) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.161115215327983 × 6371000     		du = 49.2087338668903m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40898352)-sin(1.40897580))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.161107596180315-0.161115215327983)×R²
    abs(-0.61085991--0.61090785)×7.6191476677534e-06×R²
    4.79400000000796e-05×7.6191476677534e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×7.6191476677534e-06×40589641000000     		ar = 2420.23104372111m²