Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 52792 / 102104
↖ ↑ ↗
← S 70.340927°
W 35.002441°		 ← 102.75 m → S 70.340927°
W 34.999695°		 →
↑
102.76 m
↓
↑
102.76 m
↓
S 70.341851°
W 35.002441°		 ← 102.75 m →
10 559 m²		 S 70.341851°
W 34.999695°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52792 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102104 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.402774810791016 y=0.778995513916016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.402774810791016 × 217)
    floor (0.402774810791016 × 131072)
    floor (52792.5)     		tx = 52792
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778995513916016 × 217)
    floor (0.778995513916016 × 131072)
    floor (102104.5)     		ty = 102104
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52792 / 102104 ti = "17/52792/102104"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52792/102104.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52792 ÷ 217
    52792 ÷ 131072     		x = 0.40277099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102104 ÷ 217
    102104 ÷ 131072     		y = 0.77899169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40277099609375 × 2 - 1) × π
    -0.1944580078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.61090785
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77899169921875 × 2 - 1) × π
    -0.5579833984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.75295654530621
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61090785} λ = -0.61090785}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75295654530621))-π/2
    2×atan(0.17326093165859)-π/2
    2×0.171557777669507-π/2
    0.343115555339014-1.57079632675     		φ = -1.22768077
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61090785} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.002441°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22768077 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.340927°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52792 KachelY 102104 -0.61090785 -1.22768077 -35.002441 -70.340927
    Oben rechts KachelX + 1 52793 KachelY 102104 -0.61085991 -1.22768077 -34.999695 -70.340927
    Unten links KachelX 52792 KachelY + 1 102105 -0.61090785 -1.22769690 -35.002441 -70.341851
    Unten rechts KachelX + 1 52793 KachelY + 1 102105 -0.61085991 -1.22769690 -34.999695 -70.341851
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22768077--1.22769690) × R
    1.61299999998921e-05 × 6371000     		dl = 102.764229999312m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22768077--1.22769690) × R
    1.61299999998921e-05 × 6371000     		dr = 102.764229999312m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61090785--0.61085991) × cos(-1.22768077) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.336422674565872 × 6371000     		do = 102.752144332231m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61090785--0.61085991) × cos(-1.22769690) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.336407484722166 × 6371000     		du = 102.747504962977m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22768077)-sin(-1.22769690))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336422674565872-0.336407484722166)×R²
    abs(-0.61085991--0.61090785)×1.51898437056874e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.51898437056874e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.51898437056874e-05×40589641000000     		ar = 10559.0066126418m²