Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 52791 / 102102
↖ ↑ ↗
← S 70.339079°
W 35.005188°		 ← 102.76 m → S 70.339079°
W 35.002441°		 →
↑
102.70 m
↓
↑
102.70 m
↓
S 70.340003°
W 35.005188°		 ← 102.76 m →
10 553 m²		 S 70.340003°
W 35.002441°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52791 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102102 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.402767181396484 y=0.778980255126953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.402767181396484 × 217)
    floor (0.402767181396484 × 131072)
    floor (52791.5)     		tx = 52791
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778980255126953 × 217)
    floor (0.778980255126953 × 131072)
    floor (102102.5)     		ty = 102102
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52791 / 102102 ti = "17/52791/102102"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52791/102102.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52791 ÷ 217
    52791 ÷ 131072     		x = 0.402763366699219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102102 ÷ 217
    102102 ÷ 131072     		y = 0.778976440429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.402763366699219 × 2 - 1) × π
    -0.194473266601562 × 3.1415926535     		Λ = -0.61095579
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778976440429688 × 2 - 1) × π
    -0.557952880859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.75286067150697
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61095579} λ = -0.61095579}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75286067150697))-π/2
    2×atan(0.173277543638682)-π/2
    2×0.17157390545746-π/2
    0.34314781091492-1.57079632675     		φ = -1.22764852
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61095579} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.005188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22764852 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.339079°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52791 KachelY 102102 -0.61095579 -1.22764852 -35.005188 -70.339079
    Oben rechts KachelX + 1 52792 KachelY 102102 -0.61090785 -1.22764852 -35.002441 -70.339079
    Unten links KachelX 52791 KachelY + 1 102103 -0.61095579 -1.22766464 -35.005188 -70.340003
    Unten rechts KachelX + 1 52792 KachelY + 1 102103 -0.61090785 -1.22766464 -35.002441 -70.340003
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22764852--1.22766464) × R
    1.61199999999528e-05 × 6371000     		dl = 102.7005199997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22764852--1.22766464) × R
    1.61199999999528e-05 × 6371000     		dr = 102.7005199997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61095579--0.61090785) × cos(-1.22764852) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.336453044573689 × 6371000     		do = 102.761420114104m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61095579--0.61090785) × cos(-1.22766464) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.336437864322048 × 6371000     		du = 102.756783674514m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22764852)-sin(-1.22766464))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336453044573689-0.336437864322048)×R²
    abs(-0.61090785--0.61095579)×1.51802516404898e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.51802516404898e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.51802516404898e-05×40589641000000     		ar = 10553.413199363m²