Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52784 / 26096
↖ ↑ ↗
← N 34.379713°
E109.951172°		 ← 504.09 m → N 34.379713°
E109.956665°		 →
↑
504.14 m
↓
↑
504.14 m
↓
N 34.375179°
E109.951172°		 ← 504.12 m →
254 138 m²		 N 34.375179°
E109.956665°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52784 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26096 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.805427551269531 y=0.398200988769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.805427551269531 × 216)
    floor (0.805427551269531 × 65536)
    floor (52784.5)     		tx = 52784
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.398200988769531 × 216)
    floor (0.398200988769531 × 65536)
    floor (26096.5)     		ty = 26096
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52784 / 26096 ti = "16/52784/26096"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52784/26096.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52784 ÷ 216
    52784 ÷ 65536     		x = 0.805419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26096 ÷ 216
    26096 ÷ 65536     		y = 0.398193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.805419921875 × 2 - 1) × π
    0.61083984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.91900997
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.398193359375 × 2 - 1) × π
    0.20361328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.639669988530029
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91900997} λ = 1.91900997}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.639669988530029))-π/2
    2×atan(1.8958551221214)-π/2
    2×1.08541775359909-π/2
    2.17083550719819-1.57079632675     		φ = 0.60003918
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91900997} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.951172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.60003918 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 34.379713°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52784 KachelY 26096 1.91900997 0.60003918 109.951172 34.379713
    Oben rechts KachelX + 1 52785 KachelY 26096 1.91910584 0.60003918 109.956665 34.379713
    Unten links KachelX 52784 KachelY + 1 26097 1.91900997 0.59996005 109.951172 34.375179
    Unten rechts KachelX + 1 52785 KachelY + 1 26097 1.91910584 0.59996005 109.956665 34.375179
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.60003918-0.59996005) × R
    7.91300000000383e-05 × 6371000     		dl = 504.137230000244m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.60003918-0.59996005) × R
    7.91300000000383e-05 × 6371000     		dr = 504.137230000244m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91900997-1.91910584) × cos(0.60003918) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.825313491584101 × 6371000     		do = 504.091387075556m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91900997-1.91910584) × cos(0.59996005) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.825358171717866 × 6371000     		du = 504.118677154821m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.60003918)-sin(0.59996005))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.825313491584101-0.825358171717866)×R²
    abs(1.91910584-1.91900997)×4.46801337642411e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.46801337642411e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.46801337642411e-05×40589641000000     		ar = 254138.114652126m²