Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52782 / 26095
↖ ↑ ↗
← N 34.384246°
E109.940186°		 ← 504.06 m → N 34.384246°
E109.945679°		 →
↑
504.07 m
↓
↑
504.07 m
↓
N 34.379713°
E109.940186°		 ← 504.09 m →
254 092 m²		 N 34.379713°
E109.945679°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52782 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26095 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.805397033691406 y=0.398185729980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.805397033691406 × 216)
    floor (0.805397033691406 × 65536)
    floor (52782.5)     		tx = 52782
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.398185729980469 × 216)
    floor (0.398185729980469 × 65536)
    floor (26095.5)     		ty = 26095
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52782 / 26095 ti = "16/52782/26095"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52782/26095.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52782 ÷ 216
    52782 ÷ 65536     		x = 0.805389404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26095 ÷ 216
    26095 ÷ 65536     		y = 0.398178100585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.805389404296875 × 2 - 1) × π
    0.61077880859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.91881822
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.398178100585938 × 2 - 1) × π
    0.203643798828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.639765862329269
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91881822} λ = 1.91881822}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.639765862329269))-π/2
    2×atan(1.8960368936682)-π/2
    2×1.08545731549814-π/2
    2.17091463099628-1.57079632675     		φ = 0.60011830
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91881822} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.940186°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.60011830 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 34.384246°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52782 KachelY 26095 1.91881822 0.60011830 109.940186 34.384246
    Oben rechts KachelX + 1 52783 KachelY 26095 1.91891409 0.60011830 109.945679 34.384246
    Unten links KachelX 52782 KachelY + 1 26096 1.91881822 0.60003918 109.940186 34.379713
    Unten rechts KachelX + 1 52783 KachelY + 1 26096 1.91891409 0.60003918 109.945679 34.379713
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.60011830-0.60003918) × R
    7.91199999999881e-05 × 6371000     		dl = 504.073519999924m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.60011830-0.60003918) × R
    7.91199999999881e-05 × 6371000     		dr = 504.073519999924m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91881822-1.91891409) × cos(0.60011830) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.825268811929991 × 6371000     		do = 504.064097289258m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91881822-1.91891409) × cos(0.60003918) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.825313491584101 × 6371000     		du = 504.091387075556m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.60011830)-sin(0.60003918))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.825268811929991-0.825313491584101)×R²
    abs(1.91891409-1.91881822)×4.46796541104799e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.46796541104799e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.46796541104799e-05×40589641000000     		ar = 254092.241988331m²