Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 5278 / 3298
↖ ↑ ↗
← N 80.700447°
W122.014160°		 ← 197.41 m → N 80.700447°
W122.003174°		 →
↑
197.44 m
↓
↑
197.44 m
↓
N 80.698671°
W122.014160°		 ← 197.45 m →
38 980 m²		 N 80.698671°
W122.003174°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5278 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3298 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.161087036132812 y=0.100662231445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.161087036132812 × 215)
    floor (0.161087036132812 × 32768)
    floor (5278.5)     		tx = 5278
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.100662231445312 × 215)
    floor (0.100662231445312 × 32768)
    floor (3298.5)     		ty = 3298
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5278 / 3298 ti = "15/5278/3298"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5278/3298.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5278 ÷ 215
    5278 ÷ 32768     		x = 0.16107177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3298 ÷ 215
    3298 ÷ 32768     		y = 0.10064697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.16107177734375 × 2 - 1) × π
    -0.6778564453125 × 3.1415926535     		Λ = -2.12954883
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10064697265625 × 2 - 1) × π
    0.7987060546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.50920907371222
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.12954883} λ = -2.12954883}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50920907371222))-π/2
    2×atan(12.2952016156048)-π/2
    2×1.48964241427419-π/2
    2.97928482854837-1.57079632675     		φ = 1.40848850
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.12954883} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.014160°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40848850 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.700447°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5278 KachelY 3298 -2.12954883 1.40848850 -122.014160 80.700447
    Oben rechts KachelX + 1 5279 KachelY 3298 -2.12935708 1.40848850 -122.003174 80.700447
    Unten links KachelX 5278 KachelY + 1 3299 -2.12954883 1.40845751 -122.014160 80.698671
    Unten rechts KachelX + 1 5279 KachelY + 1 3299 -2.12935708 1.40845751 -122.003174 80.698671
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40848850-1.40845751) × R
    3.0989999999953e-05 × 6371000     		dl = 197.437289999701m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40848850-1.40845751) × R
    3.0989999999953e-05 × 6371000     		dr = 197.437289999701m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.12954883--2.12935708) × cos(1.40848850) × R
    0.000191749999999935 × 0.161596129899699 × 6371000     		do = 197.412174933504m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.12954883--2.12935708) × cos(1.40845751) × R
    0.000191749999999935 × 0.161626712519779 × 6371000     		du = 197.449535862562m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40848850)-sin(1.40845751))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.161596129899699-0.161626712519779)×R²
    abs(-2.12935708--2.12954883)×3.05826200800718e-05×R²
    0.000191749999999935×3.05826200800718e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.05826200800718e-05×40589641000000     		ar = 38980.2130553744m²