Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52779 / 48595
↖ ↑ ↗
← S 65.263603°
E109.923706°		 ← 255.58 m → S 65.263603°
E109.929199°		 →
↑
255.54 m
↓
↑
255.54 m
↓
S 65.265901°
E109.923706°		 ← 255.56 m →
65 308 m²		 S 65.265901°
E109.929199°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52779 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48595 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.805351257324219 y=0.741508483886719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.805351257324219 × 216)
    floor (0.805351257324219 × 65536)
    floor (52779.5)     		tx = 52779
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.741508483886719 × 216)
    floor (0.741508483886719 × 65536)
    floor (48595.5)     		ty = 48595
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52779 / 48595 ti = "16/52779/48595"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52779/48595.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52779 ÷ 216
    52779 ÷ 65536     		x = 0.805343627929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48595 ÷ 216
    48595 ÷ 65536     		y = 0.741500854492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.805343627929688 × 2 - 1) × π
    0.610687255859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.91853060
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.741500854492188 × 2 - 1) × π
    -0.483001708984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.51739462057326
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91853060} λ = 1.91853060}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51739462057326))-π/2
    2×atan(0.219282457356308)-π/2
    2×0.215865785146351-π/2
    0.431731570292703-1.57079632675     		φ = -1.13906476
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91853060} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.923706°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13906476 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.263603°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52779 KachelY 48595 1.91853060 -1.13906476 109.923706 -65.263603
    Oben rechts KachelX + 1 52780 KachelY 48595 1.91862647 -1.13906476 109.929199 -65.263603
    Unten links KachelX 52779 KachelY + 1 48596 1.91853060 -1.13910487 109.923706 -65.265901
    Unten rechts KachelX + 1 52780 KachelY + 1 48596 1.91862647 -1.13910487 109.929199 -65.265901
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13906476--1.13910487) × R
    4.01100000000376e-05 × 6371000     		dl = 255.54081000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13906476--1.13910487) × R
    4.01100000000376e-05 × 6371000     		dr = 255.54081000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91853060-1.91862647) × cos(-1.13906476) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.4184441115959 × 6371000     		do = 255.580545791285m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91853060-1.91862647) × cos(-1.13910487) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.418407681650722 × 6371000     		du = 255.558294826309m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13906476)-sin(-1.13910487))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.4184441115959-0.418407681650722)×R²
    abs(1.91862647-1.91853060)×3.64299451778849e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.64299451778849e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.64299451778849e-05×40589641000000     		ar = 65308.4166856423m²