Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 52778 / 102088
↖ ↑ ↗
← S 70.326138°
W 35.040894°		 ← 102.83 m → S 70.326138°
W 35.038147°		 →
↑
102.76 m
↓
↑
102.76 m
↓
S 70.327062°
W 35.040894°		 ← 102.82 m →
10 567 m²		 S 70.327062°
W 35.038147°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52778 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102088 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.402667999267578 y=0.778873443603516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.402667999267578 × 217)
    floor (0.402667999267578 × 131072)
    floor (52778.5)     		tx = 52778
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778873443603516 × 217)
    floor (0.778873443603516 × 131072)
    floor (102088.5)     		ty = 102088
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52778 / 102088 ti = "17/52778/102088"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52778/102088.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52778 ÷ 217
    52778 ÷ 131072     		x = 0.402664184570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102088 ÷ 217
    102088 ÷ 131072     		y = 0.77886962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.402664184570312 × 2 - 1) × π
    -0.194671630859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.61157897
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77886962890625 × 2 - 1) × π
    -0.5577392578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.75218955491229
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61157897} λ = -0.61157897}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75218955491229))-π/2
    2×atan(0.173393872104319)-π/2
    2×0.171686840751841-π/2
    0.343373681503682-1.57079632675     		φ = -1.22742265
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61157897} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.040894°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22742265 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.326138°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52778 KachelY 102088 -0.61157897 -1.22742265 -35.040894 -70.326138
    Oben rechts KachelX + 1 52779 KachelY 102088 -0.61153103 -1.22742265 -35.038147 -70.326138
    Unten links KachelX 52778 KachelY + 1 102089 -0.61157897 -1.22743878 -35.040894 -70.327062
    Unten rechts KachelX + 1 52779 KachelY + 1 102089 -0.61153103 -1.22743878 -35.038147 -70.327062
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22742265--1.22743878) × R
    1.61299999998921e-05 × 6371000     		dl = 102.764229999312m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22742265--1.22743878) × R
    1.61299999998921e-05 × 6371000     		dr = 102.764229999312m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61157897--0.61153103) × cos(-1.22742265) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.336665737823446 × 6371000     		do = 102.826382107543m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61157897--0.61153103) × cos(-1.22743878) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.336650549380903 × 6371000     		du = 102.821743166239m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22742265)-sin(-1.22743878))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336665737823446-0.336650549380903)×R²
    abs(-0.61153103--0.61157897)×1.51884425436677e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.51884425436677e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.51884425436677e-05×40589641000000     		ar = 10566.63562237m²