Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52769 / 48545
↖ ↑ ↗
← S 65.148423°
E109.868774°		 ← 256.70 m → S 65.148423°
E109.874267°		 →
↑
256.69 m
↓
↑
256.69 m
↓
S 65.150732°
E109.868774°		 ← 256.67 m →
65 888 m²		 S 65.150732°
E109.874267°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52769 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48545 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.805198669433594 y=0.740745544433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.805198669433594 × 216)
    floor (0.805198669433594 × 65536)
    floor (52769.5)     		tx = 52769
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740745544433594 × 216)
    floor (0.740745544433594 × 65536)
    floor (48545.5)     		ty = 48545
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52769 / 48545 ti = "16/52769/48545"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52769/48545.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52769 ÷ 216
    52769 ÷ 65536     		x = 0.805191040039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48545 ÷ 216
    48545 ÷ 65536     		y = 0.740737915039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.805191040039062 × 2 - 1) × π
    0.610382080078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.91757186
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740737915039062 × 2 - 1) × π
    -0.481475830078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.51260093061125
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91757186} λ = 1.91757186}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51260093061125))-π/2
    2×atan(0.220336152998312)-π/2
    2×0.216870916647577-π/2
    0.433741833295154-1.57079632675     		φ = -1.13705449
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91757186} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.868774°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13705449 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.148423°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52769 KachelY 48545 1.91757186 -1.13705449 109.868774 -65.148423
    Oben rechts KachelX + 1 52770 KachelY 48545 1.91766773 -1.13705449 109.874267 -65.148423
    Unten links KachelX 52769 KachelY + 1 48546 1.91757186 -1.13709478 109.868774 -65.150732
    Unten rechts KachelX + 1 52770 KachelY + 1 48546 1.91766773 -1.13709478 109.874267 -65.150732
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13705449--1.13709478) × R
    4.02900000000539e-05 × 6371000     		dl = 256.687590000343m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13705449--1.13709478) × R
    4.02900000000539e-05 × 6371000     		dr = 256.687590000343m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91757186-1.91766773) × cos(-1.13705449) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.420269077607696 × 6371000     		do = 256.695212711956m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91757186-1.91766773) × cos(-1.13709478) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.420232518139637 × 6371000     		du = 256.672882635988m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13705449)-sin(-1.13709478))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420269077607696-0.420232518139637)×R²
    abs(1.91766773-1.91757186)×3.6559468058972e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.6559468058972e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.6559468058972e-05×40589641000000     		ar = 65887.6095976171m²