Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 52769 / 102103
↖ ↑ ↗
← S 70.340003°
W 35.065613°		 ← 102.76 m → S 70.340003°
W 35.062866°		 →
↑
102.76 m
↓
↑
102.76 m
↓
S 70.340927°
W 35.065613°		 ← 102.75 m →
10 559 m²		 S 70.340927°
W 35.062866°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52769 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102103 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.402599334716797 y=0.778987884521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.402599334716797 × 217)
    floor (0.402599334716797 × 131072)
    floor (52769.5)     		tx = 52769
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778987884521484 × 217)
    floor (0.778987884521484 × 131072)
    floor (102103.5)     		ty = 102103
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52769 / 102103 ti = "17/52769/102103"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52769/102103.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52769 ÷ 217
    52769 ÷ 131072     		x = 0.402595520019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102103 ÷ 217
    102103 ÷ 131072     		y = 0.778984069824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.402595520019531 × 2 - 1) × π
    -0.194808959960938 × 3.1415926535     		Λ = -0.61201040
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778984069824219 × 2 - 1) × π
    -0.557968139648438 × 3.1415926535     		Φ = -1.75290860840659
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61201040} λ = -0.61201040}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75290860840659))-π/2
    2×atan(0.173269237449555)-π/2
    2×0.171565841381472-π/2
    0.343131682762943-1.57079632675     		φ = -1.22766464
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61201040} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.065613°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22766464 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.340003°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52769 KachelY 102103 -0.61201040 -1.22766464 -35.065613 -70.340003
    Oben rechts KachelX + 1 52770 KachelY 102103 -0.61196246 -1.22766464 -35.062866 -70.340003
    Unten links KachelX 52769 KachelY + 1 102104 -0.61201040 -1.22768077 -35.065613 -70.340927
    Unten rechts KachelX + 1 52770 KachelY + 1 102104 -0.61196246 -1.22768077 -35.062866 -70.340927
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22766464--1.22768077) × R
    1.61300000001141e-05 × 6371000     		dl = 102.764230000727m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22766464--1.22768077) × R
    1.61300000001141e-05 × 6371000     		dr = 102.764230000727m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61201040--0.61196246) × cos(-1.22766464) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.336437864322048 × 6371000     		do = 102.756783674514m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61201040--0.61196246) × cos(-1.22768077) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.336422674565872 × 6371000     		du = 102.752144331993m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22766464)-sin(-1.22768077))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336437864322048-0.336422674565872)×R²
    abs(-0.61196246--0.61201040)×1.51897561764813e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.51897561764813e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.51897561764813e-05×40589641000000     		ar = 10559.4833728509m²