Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52768 / 48543
↖ ↑ ↗
← S 65.143806°
E109.863281°		 ← 256.77 m → S 65.143806°
E109.868774°		 →
↑
256.75 m
↓
↑
256.75 m
↓
S 65.146115°
E109.863281°		 ← 256.74 m →
65 922 m²		 S 65.146115°
E109.868774°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52768 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48543 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.805183410644531 y=0.740715026855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.805183410644531 × 216)
    floor (0.805183410644531 × 65536)
    floor (52768.5)     		tx = 52768
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740715026855469 × 216)
    floor (0.740715026855469 × 65536)
    floor (48543.5)     		ty = 48543
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52768 / 48543 ti = "16/52768/48543"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52768/48543.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52768 ÷ 216
    52768 ÷ 65536     		x = 0.80517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48543 ÷ 216
    48543 ÷ 65536     		y = 0.740707397460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.80517578125 × 2 - 1) × π
    0.6103515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.91747598
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740707397460938 × 2 - 1) × π
    -0.481414794921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.51240918301277
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91747598} λ = 1.91747598}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51240918301277))-π/2
    2×atan(0.220378405977332)-π/2
    2×0.216911212945911-π/2
    0.433822425891822-1.57079632675     		φ = -1.13697390
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91747598} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.863281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13697390 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.143806°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52768 KachelY 48543 1.91747598 -1.13697390 109.863281 -65.143806
    Oben rechts KachelX + 1 52769 KachelY 48543 1.91757186 -1.13697390 109.868774 -65.143806
    Unten links KachelX 52768 KachelY + 1 48544 1.91747598 -1.13701420 109.863281 -65.146115
    Unten rechts KachelX + 1 52769 KachelY + 1 48544 1.91757186 -1.13701420 109.868774 -65.146115
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13697390--1.13701420) × R
    4.02999999999931e-05 × 6371000     		dl = 256.751299999956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13697390--1.13701420) × R
    4.02999999999931e-05 × 6371000     		dr = 256.751299999956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91747598-1.91757186) × cos(-1.13697390) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.420342203570762 × 6371000     		do = 256.766657157493m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91747598-1.91757186) × cos(-1.13701420) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.420305636393538 × 6371000     		du = 256.744320043166m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13697390)-sin(-1.13701420))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420342203570762-0.420305636393538)×R²
    abs(1.91757186-1.91747598)×3.65671772238896e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.65671772238896e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.65671772238896e-05×40589641000000     		ar = 65922.3054892718m²