Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 52767 / 102100
↖ ↑ ↗
← S 70.337231°
W 35.071106°		 ← 102.77 m → S 70.337231°
W 35.068359°		 →
↑
102.76 m
↓
↑
102.76 m
↓
S 70.338155°
W 35.071106°		 ← 102.77 m →
10 561 m²		 S 70.338155°
W 35.068359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52767 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102100 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.402584075927734 y=0.778964996337891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.402584075927734 × 217)
    floor (0.402584075927734 × 131072)
    floor (52767.5)     		tx = 52767
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778964996337891 × 217)
    floor (0.778964996337891 × 131072)
    floor (102100.5)     		ty = 102100
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52767 / 102100 ti = "17/52767/102100"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52767/102100.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52767 ÷ 217
    52767 ÷ 131072     		x = 0.402580261230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102100 ÷ 217
    102100 ÷ 131072     		y = 0.778961181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.402580261230469 × 2 - 1) × π
    -0.194839477539062 × 3.1415926535     		Λ = -0.61210627
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778961181640625 × 2 - 1) × π
    -0.55792236328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.75276479770773
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61210627} λ = -0.61210627}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75276479770773))-π/2
    2×atan(0.173294157211504)-π/2
    2×0.171590034701566-π/2
    0.343180069403133-1.57079632675     		φ = -1.22761626
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61210627} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.071106°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22761626 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.337231°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52767 KachelY 102100 -0.61210627 -1.22761626 -35.071106 -70.337231
    Oben rechts KachelX + 1 52768 KachelY 102100 -0.61205833 -1.22761626 -35.068359 -70.337231
    Unten links KachelX 52767 KachelY + 1 102101 -0.61210627 -1.22763239 -35.071106 -70.338155
    Unten rechts KachelX + 1 52768 KachelY + 1 102101 -0.61205833 -1.22763239 -35.068359 -70.338155
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22761626--1.22763239) × R
    1.61299999998921e-05 × 6371000     		dl = 102.764229999312m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22761626--1.22763239) × R
    1.61299999998921e-05 × 6371000     		dr = 102.764229999312m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61210627--0.61205833) × cos(-1.22761626) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.336483423648467 × 6371000     		do = 102.770698665499m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61210627--0.61205833) × cos(-1.22763239) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.336468234154849 × 6371000     		du = 102.766059403171m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22761626)-sin(-1.22763239))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336483423648467-0.336468234154849)×R²
    abs(-0.61205833--0.61210627)×1.5189493618617e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.5189493618617e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.5189493618617e-05×40589641000000     		ar = 10560.9133400851m²