Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52766 / 48542
↖ ↑ ↗
← S 65.141497°
E109.852295°		 ← 256.76 m → S 65.141497°
E109.857788°		 →
↑
256.75 m
↓
↑
256.75 m
↓
S 65.143806°
E109.852295°		 ← 256.74 m →
65 921 m²		 S 65.143806°
E109.857788°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52766 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48542 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.805152893066406 y=0.740699768066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.805152893066406 × 216)
    floor (0.805152893066406 × 65536)
    floor (52766.5)     		tx = 52766
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740699768066406 × 216)
    floor (0.740699768066406 × 65536)
    floor (48542.5)     		ty = 48542
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52766 / 48542 ti = "16/52766/48542"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52766/48542.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52766 ÷ 216
    52766 ÷ 65536     		x = 0.805145263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48542 ÷ 216
    48542 ÷ 65536     		y = 0.740692138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.805145263671875 × 2 - 1) × π
    0.61029052734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.91728424
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740692138671875 × 2 - 1) × π
    -0.48138427734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.51231330921353
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91728424} λ = 1.91728424}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51231330921353))-π/2
    2×atan(0.220399535505252)-π/2
    2×0.216931363724357-π/2
    0.433862727448713-1.57079632675     		φ = -1.13693360
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91728424} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.852295°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13693360 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.141497°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52766 KachelY 48542 1.91728424 -1.13693360 109.852295 -65.141497
    Oben rechts KachelX + 1 52767 KachelY 48542 1.91738011 -1.13693360 109.857788 -65.141497
    Unten links KachelX 52766 KachelY + 1 48543 1.91728424 -1.13697390 109.852295 -65.143806
    Unten rechts KachelX + 1 52767 KachelY + 1 48543 1.91738011 -1.13697390 109.857788 -65.143806
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13693360--1.13697390) × R
    4.02999999999931e-05 × 6371000     		dl = 256.751299999956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13693360--1.13697390) × R
    4.02999999999931e-05 × 6371000     		dr = 256.751299999956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91728424-1.91738011) × cos(-1.13693360) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.420378770065312 × 6371000     		do = 256.762211523529m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91728424-1.91738011) × cos(-1.13697390) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.420342203570762 × 6371000     		du = 256.739877155866m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13693360)-sin(-1.13697390))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420378770065312-0.420342203570762)×R²
    abs(1.91738011-1.91728424)×3.65664945503608e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.65664945503608e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.65664945503608e-05×40589641000000     		ar = 65921.1644193553m²