Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52766 / 48484
↖ ↑ ↗
← S 65.007224°
E109.852295°		 ← 258.06 m → S 65.007224°
E109.857788°		 →
↑
258.09 m
↓
↑
258.09 m
↓
S 65.009545°
E109.852295°		 ← 258.04 m →
66 600 m²		 S 65.009545°
E109.857788°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52766 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48484 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.805152893066406 y=0.739814758300781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.805152893066406 × 216)
    floor (0.805152893066406 × 65536)
    floor (52766.5)     		tx = 52766
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739814758300781 × 216)
    floor (0.739814758300781 × 65536)
    floor (48484.5)     		ty = 48484
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52766 / 48484 ti = "16/52766/48484"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52766/48484.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52766 ÷ 216
    52766 ÷ 65536     		x = 0.805145263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48484 ÷ 216
    48484 ÷ 65536     		y = 0.73980712890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.805145263671875 × 2 - 1) × π
    0.61029052734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.91728424
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73980712890625 × 2 - 1) × π
    -0.4796142578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.5067526288576
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91728424} λ = 1.91728424}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5067526288576))-π/2
    2×atan(0.221628520702911)-π/2
    2×0.218103112170579-π/2
    0.436206224341158-1.57079632675     		φ = -1.13459010
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91728424} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.852295°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13459010 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.007224°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52766 KachelY 48484 1.91728424 -1.13459010 109.852295 -65.007224
    Oben rechts KachelX + 1 52767 KachelY 48484 1.91738011 -1.13459010 109.857788 -65.007224
    Unten links KachelX 52766 KachelY + 1 48485 1.91728424 -1.13463061 109.852295 -65.009545
    Unten rechts KachelX + 1 52767 KachelY + 1 48485 1.91738011 -1.13463061 109.857788 -65.009545
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13459010--1.13463061) × R
    4.05100000000491e-05 × 6371000     		dl = 258.089210000313m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13459010--1.13463061) × R
    4.05100000000491e-05 × 6371000     		dr = 258.089210000313m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91728424-1.91738011) × cos(-1.13459010) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.422503985473428 × 6371000     		do = 258.060267103422m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91728424-1.91738011) × cos(-1.13463061) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.422467268439971 × 6371000     		du = 258.037840788435m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13459010)-sin(-1.13463061))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.422503985473428-0.422467268439971)×R²
    abs(1.91738011-1.91728424)×3.6717033457534e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.6717033457534e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.6717033457534e-05×40589641000000     		ar = 66599.6764832675m²