Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52766 / 48418
↖ ↑ ↗
← S 64.853606°
E109.852295°		 ← 259.54 m → S 64.853606°
E109.857788°		 →
↑
259.55 m
↓
↑
259.55 m
↓
S 64.855940°
E109.852295°		 ← 259.52 m →
67 363 m²		 S 64.855940°
E109.857788°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52766 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48418 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.805152893066406 y=0.738807678222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.805152893066406 × 216)
    floor (0.805152893066406 × 65536)
    floor (52766.5)     		tx = 52766
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738807678222656 × 216)
    floor (0.738807678222656 × 65536)
    floor (48418.5)     		ty = 48418
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52766 / 48418 ti = "16/52766/48418"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52766/48418.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52766 ÷ 216
    52766 ÷ 65536     		x = 0.805145263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48418 ÷ 216
    48418 ÷ 65536     		y = 0.738800048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.805145263671875 × 2 - 1) × π
    0.61029052734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.91728424
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.738800048828125 × 2 - 1) × π
    -0.47760009765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.50042495810776
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91728424} λ = 1.91728424}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50042495810776))-π/2
    2×atan(0.223035359322406)-π/2
    2×0.219443684138713-π/2
    0.438887368277427-1.57079632675     		φ = -1.13190896
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91728424} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.852295°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13190896 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.853606°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52766 KachelY 48418 1.91728424 -1.13190896 109.852295 -64.853606
    Oben rechts KachelX + 1 52767 KachelY 48418 1.91738011 -1.13190896 109.857788 -64.853606
    Unten links KachelX 52766 KachelY + 1 48419 1.91728424 -1.13194970 109.852295 -64.855940
    Unten rechts KachelX + 1 52767 KachelY + 1 48419 1.91738011 -1.13194970 109.857788 -64.855940
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13190896--1.13194970) × R
    4.07399999999836e-05 × 6371000     		dl = 259.554539999895m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13190896--1.13194970) × R
    4.07399999999836e-05 × 6371000     		dr = 259.554539999895m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91728424-1.91738011) × cos(-1.13190896) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.42493254488441 × 6371000     		do = 259.543601490368m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91728424-1.91738011) × cos(-1.13194970) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.424895665664567 × 6371000     		du = 259.521076113921m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13190896)-sin(-1.13194970))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.42493254488441-0.424895665664567)×R²
    abs(1.91738011-1.91728424)×3.68792198429113e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.68792198429113e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.68792198429113e-05×40589641000000     		ar = 67362.7968217986m²