Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52765 / 48483
↖ ↑ ↗
← S 65.004903°
E109.846802°		 ← 258.11 m → S 65.004903°
E109.852295°		 →
↑
258.09 m
↓
↑
258.09 m
↓
S 65.007224°
E109.846802°		 ← 258.09 m →
66 612 m²		 S 65.007224°
E109.852295°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52765 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48483 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.805137634277344 y=0.739799499511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.805137634277344 × 216)
    floor (0.805137634277344 × 65536)
    floor (52765.5)     		tx = 52765
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739799499511719 × 216)
    floor (0.739799499511719 × 65536)
    floor (48483.5)     		ty = 48483
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52765 / 48483 ti = "16/52765/48483"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52765/48483.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52765 ÷ 216
    52765 ÷ 65536     		x = 0.805130004882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48483 ÷ 216
    48483 ÷ 65536     		y = 0.739791870117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.805130004882812 × 2 - 1) × π
    0.610260009765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.91718836
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.739791870117188 × 2 - 1) × π
    -0.479583740234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.50665675505836
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91718836} λ = 1.91718836}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50665675505836))-π/2
    2×atan(0.221649770089824)-π/2
    2×0.218123366581611-π/2
    0.436246733163222-1.57079632675     		φ = -1.13454959
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91718836} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.846802°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13454959 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.004903°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52765 KachelY 48483 1.91718836 -1.13454959 109.846802 -65.004903
    Oben rechts KachelX + 1 52766 KachelY 48483 1.91728424 -1.13454959 109.852295 -65.004903
    Unten links KachelX 52765 KachelY + 1 48484 1.91718836 -1.13459010 109.846802 -65.007224
    Unten rechts KachelX + 1 52766 KachelY + 1 48484 1.91728424 -1.13459010 109.852295 -65.007224
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13454959--1.13459010) × R
    4.05100000000491e-05 × 6371000     		dl = 258.089210000313m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13454959--1.13459010) × R
    4.05100000000491e-05 × 6371000     		dr = 258.089210000313m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91718836-1.91728424) × cos(-1.13454959) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.422540701813531 × 6371000     		do = 258.109613063463m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91718836-1.91728424) × cos(-1.13459010) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.422503985473428 × 6371000     		du = 258.087184832771m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13454959)-sin(-1.13459010))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.422540701813531-0.422503985473428)×R²
    abs(1.91728424-1.91718836)×3.67163401031045e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.67163401031045e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.67163401031045e-05×40589641000000     		ar = 66612.4118963525m²