Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52759 / 48475
↖ ↑ ↗
← S 64.986328°
E109.813843°		 ← 258.26 m → S 64.986328°
E109.819336°		 →
↑
258.22 m
↓
↑
258.22 m
↓
S 64.988651°
E109.813843°		 ← 258.24 m →
66 685 m²		 S 64.988651°
E109.819336°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52759 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48475 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.805046081542969 y=0.739677429199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.805046081542969 × 216)
    floor (0.805046081542969 × 65536)
    floor (52759.5)     		tx = 52759
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739677429199219 × 216)
    floor (0.739677429199219 × 65536)
    floor (48475.5)     		ty = 48475
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52759 / 48475 ti = "16/52759/48475"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52759/48475.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52759 ÷ 216
    52759 ÷ 65536     		x = 0.805038452148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48475 ÷ 216
    48475 ÷ 65536     		y = 0.739669799804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.805038452148438 × 2 - 1) × π
    0.610076904296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.91661312
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.739669799804688 × 2 - 1) × π
    -0.479339599609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.50588976466444
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91661312} λ = 1.91661312}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50588976466444))-π/2
    2×atan(0.221819838546397)-π/2
    2×0.218285465242667-π/2
    0.436570930485334-1.57079632675     		φ = -1.13422540
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91661312} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.813843°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13422540 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.986328°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52759 KachelY 48475 1.91661312 -1.13422540 109.813843 -64.986328
    Oben rechts KachelX + 1 52760 KachelY 48475 1.91670899 -1.13422540 109.819336 -64.986328
    Unten links KachelX 52759 KachelY + 1 48476 1.91661312 -1.13426593 109.813843 -64.988651
    Unten rechts KachelX + 1 52760 KachelY + 1 48476 1.91670899 -1.13426593 109.819336 -64.988651
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13422540--1.13426593) × R
    4.05299999999276e-05 × 6371000     		dl = 258.216629999539m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13422540--1.13426593) × R
    4.05299999999276e-05 × 6371000     		dr = 258.216629999539m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91661312-1.91670899) × cos(-1.13422540) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.42283450724913 × 6371000     		do = 258.262145761739m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91661312-1.91670899) × cos(-1.13426593) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.422797778335434 × 6371000     		du = 258.239712190449m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13422540)-sin(-1.13426593))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.42283450724913-0.422797778335434)×R²
    abs(1.91670899-1.91661312)×3.67289136954385e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.67289136954385e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.67289136954385e-05×40589641000000     		ar = 66684.6845834081m²