Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52756 / 48465
↖ ↑ ↗
← S 64.963091°
E109.797363°		 ← 258.49 m → S 64.963091°
E109.802856°		 →
↑
258.47 m
↓
↑
258.47 m
↓
S 64.965415°
E109.797363°		 ← 258.46 m →
66 809 m²		 S 64.965415°
E109.802856°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52756 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48465 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.805000305175781 y=0.739524841308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.805000305175781 × 216)
    floor (0.805000305175781 × 65536)
    floor (52756.5)     		tx = 52756
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739524841308594 × 216)
    floor (0.739524841308594 × 65536)
    floor (48465.5)     		ty = 48465
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52756 / 48465 ti = "16/52756/48465"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52756/48465.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52756 ÷ 216
    52756 ÷ 65536     		x = 0.80499267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48465 ÷ 216
    48465 ÷ 65536     		y = 0.739517211914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.80499267578125 × 2 - 1) × π
    0.6099853515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.91632550
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.739517211914062 × 2 - 1) × π
    -0.479034423828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.50493102667204
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91632550} λ = 1.91632550}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50493102667204))-π/2
    2×atan(0.222032607631685)-π/2
    2×0.218488247069204-π/2
    0.436976494138409-1.57079632675     		φ = -1.13381983
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91632550} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.797363°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13381983 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.963091°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52756 KachelY 48465 1.91632550 -1.13381983 109.797363 -64.963091
    Oben rechts KachelX + 1 52757 KachelY 48465 1.91642137 -1.13381983 109.802856 -64.963091
    Unten links KachelX 52756 KachelY + 1 48466 1.91632550 -1.13386040 109.797363 -64.965415
    Unten rechts KachelX + 1 52757 KachelY + 1 48466 1.91642137 -1.13386040 109.802856 -64.965415
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13381983--1.13386040) × R
    4.05700000001286e-05 × 6371000     		dl = 258.471470000819m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13381983--1.13386040) × R
    4.05700000001286e-05 × 6371000     		dr = 258.471470000819m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91632550-1.91642137) × cos(-1.13381983) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.423202002803672 × 6371000     		do = 258.486607551983m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91632550-1.91642137) × cos(-1.13386040) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.423165244601043 × 6371000     		du = 258.46415609137m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13381983)-sin(-1.13386040))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.423202002803672-0.423165244601043)×R²
    abs(1.91642137-1.91632550)×3.67582026287727e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.67582026287727e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.67582026287727e-05×40589641000000     		ar = 66808.5119074897m²