Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52755 / 48464
↖ ↑ ↗
← S 64.960766°
E109.791870°		 ← 258.51 m → S 64.960766°
E109.797363°		 →
↑
258.47 m
↓
↑
258.47 m
↓
S 64.963091°
E109.791870°		 ← 258.49 m →
66 814 m²		 S 64.963091°
E109.797363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52755 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48464 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.804985046386719 y=0.739509582519531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.804985046386719 × 216)
    floor (0.804985046386719 × 65536)
    floor (52755.5)     		tx = 52755
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739509582519531 × 216)
    floor (0.739509582519531 × 65536)
    floor (48464.5)     		ty = 48464
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52755 / 48464 ti = "16/52755/48464"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52755/48464.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52755 ÷ 216
    52755 ÷ 65536     		x = 0.804977416992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48464 ÷ 216
    48464 ÷ 65536     		y = 0.739501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.804977416992188 × 2 - 1) × π
    0.609954833984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.91622963
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.739501953125 × 2 - 1) × π
    -0.47900390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.5048351528728
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91622963} λ = 1.91622963}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5048351528728))-π/2
    2×atan(0.222053895761804)-π/2
    2×0.218508534942152-π/2
    0.437017069884303-1.57079632675     		φ = -1.13377926
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91622963} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.791870°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13377926 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.960766°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52755 KachelY 48464 1.91622963 -1.13377926 109.791870 -64.960766
    Oben rechts KachelX + 1 52756 KachelY 48464 1.91632550 -1.13377926 109.797363 -64.960766
    Unten links KachelX 52755 KachelY + 1 48465 1.91622963 -1.13381983 109.791870 -64.963091
    Unten rechts KachelX + 1 52756 KachelY + 1 48465 1.91632550 -1.13381983 109.797363 -64.963091
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13377926--1.13381983) × R
    4.05699999999065e-05 × 6371000     		dl = 258.471469999404m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13377926--1.13381983) × R
    4.05699999999065e-05 × 6371000     		dr = 258.471469999404m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91622963-1.91632550) × cos(-1.13377926) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.423238760309742 × 6371000     		do = 258.509058587146m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91622963-1.91632550) × cos(-1.13381983) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.423202002803672 × 6371000     		du = 258.486607551983m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13377926)-sin(-1.13381983))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.423238760309742-0.423202002803672)×R²
    abs(1.91632550-1.91622963)×3.67575060698511e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.67575060698511e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.67575060698511e-05×40589641000000     		ar = 66814.3149143777m²