Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52753 / 26097
↖ ↑ ↗
← N 34.375179°
E109.780884°		 ← 504.12 m → N 34.375179°
E109.786377°		 →
↑
504.14 m
↓
↑
504.14 m
↓
N 34.370645°
E109.780884°		 ← 504.15 m →
254 152 m²		 N 34.370645°
E109.786377°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52753 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26097 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.804954528808594 y=0.398216247558594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.804954528808594 × 216)
    floor (0.804954528808594 × 65536)
    floor (52753.5)     		tx = 52753
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.398216247558594 × 216)
    floor (0.398216247558594 × 65536)
    floor (26097.5)     		ty = 26097
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52753 / 26097 ti = "16/52753/26097"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52753/26097.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52753 ÷ 216
    52753 ÷ 65536     		x = 0.804946899414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26097 ÷ 216
    26097 ÷ 65536     		y = 0.398208618164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.804946899414062 × 2 - 1) × π
    0.609893798828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.91603788
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.398208618164062 × 2 - 1) × π
    0.203582763671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.639574114730789
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91603788} λ = 1.91603788}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.639574114730789))-π/2
    2×atan(1.89567336800091)-π/2
    2×1.08537818955821-π/2
    2.17075637911641-1.57079632675     		φ = 0.59996005
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91603788} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.780884°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.59996005 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 34.375179°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52753 KachelY 26097 1.91603788 0.59996005 109.780884 34.375179
    Oben rechts KachelX + 1 52754 KachelY 26097 1.91613375 0.59996005 109.786377 34.375179
    Unten links KachelX 52753 KachelY + 1 26098 1.91603788 0.59988092 109.780884 34.370645
    Unten rechts KachelX + 1 52754 KachelY + 1 26098 1.91613375 0.59988092 109.786377 34.370645
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.59996005-0.59988092) × R
    7.91299999999273e-05 × 6371000     		dl = 504.137229999537m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.59996005-0.59988092) × R
    7.91299999999273e-05 × 6371000     		dr = 504.137229999537m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91603788-1.91613375) × cos(0.59996005) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.825358171717866 × 6371000     		do = 504.118677154821m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91603788-1.91613375) × cos(0.59988092) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.825402846683603 × 6371000     		du = 504.145964077518m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.59996005)-sin(0.59988092))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.825358171717866-0.825402846683603)×R²
    abs(1.91613375-1.91603788)×4.46749657370127e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.46749657370127e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.46749657370127e-05×40589641000000     		ar = 254151.871801257m²