Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52752 / 26098
↖ ↑ ↗
← N 34.370645°
E109.775390°		 ← 504.20 m → N 34.370645°
E109.780884°		 →
↑
504.20 m
↓
↑
504.20 m
↓
N 34.366111°
E109.775390°		 ← 504.23 m →
254 224 m²		 N 34.366111°
E109.780884°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52752 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26098 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.804939270019531 y=0.398231506347656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.804939270019531 × 216)
    floor (0.804939270019531 × 65536)
    floor (52752.5)     		tx = 52752
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.398231506347656 × 216)
    floor (0.398231506347656 × 65536)
    floor (26098.5)     		ty = 26098
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52752 / 26098 ti = "16/52752/26098"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52752/26098.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52752 ÷ 216
    52752 ÷ 65536     		x = 0.804931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26098 ÷ 216
    26098 ÷ 65536     		y = 0.398223876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.804931640625 × 2 - 1) × π
    0.60986328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.91594200
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.398223876953125 × 2 - 1) × π
    0.20355224609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.639478240931549
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91594200} λ = 1.91594200}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.639478240931549))-π/2
    2×atan(1.89549163130503)-π/2
    2×1.08533862337561-π/2
    2.17067724675121-1.57079632675     		φ = 0.59988092
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91594200} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.775390°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.59988092 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 34.370645°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52752 KachelY 26098 1.91594200 0.59988092 109.775390 34.370645
    Oben rechts KachelX + 1 52753 KachelY 26098 1.91603788 0.59988092 109.780884 34.370645
    Unten links KachelX 52752 KachelY + 1 26099 1.91594200 0.59980178 109.775390 34.366111
    Unten rechts KachelX + 1 52753 KachelY + 1 26099 1.91603788 0.59980178 109.780884 34.366111
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.59988092-0.59980178) × R
    7.91400000000886e-05 × 6371000     		dl = 504.200940000564m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.59988092-0.59980178) × R
    7.91400000000886e-05 × 6371000     		dr = 504.200940000564m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91594200-1.91603788) × cos(0.59988092) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.825402846683603 × 6371000     		do = 504.198550492561m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91594200-1.91603788) × cos(0.59980178) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.825447522125822 × 6371000     		du = 504.22584055256m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.59988092)-sin(0.59980178))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.825402846683603-0.825447522125822)×R²
    abs(1.91603788-1.91594200)×4.46754422188667e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.46754422188667e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.46754422188667e-05×40589641000000     		ar = 254224.263074945m²