Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 52750 / 102190
↖ ↑ ↗
← S 70.420238°
W 35.117798°		 ← 102.35 m → S 70.420238°
W 35.115051°		 →
↑
102.32 m
↓
↑
102.32 m
↓
S 70.421158°
W 35.117798°		 ← 102.35 m →
10 472 m²		 S 70.421158°
W 35.115051°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52750 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102190 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.402454376220703 y=0.779651641845703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.402454376220703 × 217)
    floor (0.402454376220703 × 131072)
    floor (52750.5)     		tx = 52750
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779651641845703 × 217)
    floor (0.779651641845703 × 131072)
    floor (102190.5)     		ty = 102190
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52750 / 102190 ti = "17/52750/102190"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52750/102190.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52750 ÷ 217
    52750 ÷ 131072     		x = 0.402450561523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102190 ÷ 217
    102190 ÷ 131072     		y = 0.779647827148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.402450561523438 × 2 - 1) × π
    -0.195098876953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.61292120
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779647827148438 × 2 - 1) × π
    -0.559295654296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.75707911867354
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61292120} λ = -0.61292120}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75707911867354))-π/2
    2×atan(0.172548121072659)-π/2
    2×0.170865658681603-π/2
    0.341731317363206-1.57079632675     		φ = -1.22906501
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61292120} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.117798°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22906501 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.420238°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52750 KachelY 102190 -0.61292120 -1.22906501 -35.117798 -70.420238
    Oben rechts KachelX + 1 52751 KachelY 102190 -0.61287326 -1.22906501 -35.115051 -70.420238
    Unten links KachelX 52750 KachelY + 1 102191 -0.61292120 -1.22908107 -35.117798 -70.421158
    Unten rechts KachelX + 1 52751 KachelY + 1 102191 -0.61287326 -1.22908107 -35.115051 -70.421158
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22906501--1.22908107) × R
    1.60600000000954e-05 × 6371000     		dl = 102.318260000608m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22906501--1.22908107) × R
    1.60600000000954e-05 × 6371000     		dr = 102.318260000608m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61292120--0.61287326) × cos(-1.22906501) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.335118798504674 × 6371000     		do = 102.353907021371m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61292120--0.61287326) × cos(-1.22908107) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.335103667116807 × 6371000     		du = 102.349285506034m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22906501)-sin(-1.22908107))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.335118798504674-0.335103667116807)×R²
    abs(-0.61287326--0.61292120)×1.51313878671289e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.51313878671289e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.51313878671289e-05×40589641000000     		ar = 10472.4372382189m²