Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 52748 / 102196
↖ ↑ ↗
← S 70.425759°
W 35.123291°		 ← 102.30 m → S 70.425759°
W 35.120545°		 →
↑
102.32 m
↓
↑
102.32 m
↓
S 70.426680°
W 35.123291°		 ← 102.30 m →
10 467 m²		 S 70.426680°
W 35.120545°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52748 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102196 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.402439117431641 y=0.779697418212891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.402439117431641 × 217)
    floor (0.402439117431641 × 131072)
    floor (52748.5)     		tx = 52748
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779697418212891 × 217)
    floor (0.779697418212891 × 131072)
    floor (102196.5)     		ty = 102196
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52748 / 102196 ti = "17/52748/102196"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52748/102196.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52748 ÷ 217
    52748 ÷ 131072     		x = 0.402435302734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102196 ÷ 217
    102196 ÷ 131072     		y = 0.779693603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.402435302734375 × 2 - 1) × π
    -0.19512939453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.61301707
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779693603515625 × 2 - 1) × π
    -0.55938720703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.75736674007126
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61301707} λ = -0.61301707}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75736674007126))-π/2
    2×atan(0.172498499677332)-π/2
    2×0.170817471542396-π/2
    0.341634943084792-1.57079632675     		φ = -1.22916138
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61301707} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.123291°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22916138 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.425759°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52748 KachelY 102196 -0.61301707 -1.22916138 -35.123291 -70.425759
    Oben rechts KachelX + 1 52749 KachelY 102196 -0.61296914 -1.22916138 -35.120545 -70.425759
    Unten links KachelX 52748 KachelY + 1 102197 -0.61301707 -1.22917744 -35.123291 -70.426680
    Unten rechts KachelX + 1 52749 KachelY + 1 102197 -0.61296914 -1.22917744 -35.120545 -70.426680
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22916138--1.22917744) × R
    1.60599999998734e-05 × 6371000     		dl = 102.318259999193m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22916138--1.22917744) × R
    1.60599999998734e-05 × 6371000     		dr = 102.318259999193m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61301707--0.61296914) × cos(-1.22916138) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.335027999459001 × 6371000     		do = 102.304830021702m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61301707--0.61296914) × cos(-1.22917744) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.335012867552552 × 6371000     		du = 102.300209312031m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22916138)-sin(-1.22917744))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.335027999459001-0.335012867552552)×R²
    abs(-0.61296914--0.61301707)×1.51319064490285e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.51319064490285e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.51319064490285e-05×40589641000000     		ar = 10467.4158059556m²