Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52747 / 48591
↖ ↑ ↗
← S 65.254407°
E109.747925°		 ← 255.67 m → S 65.254407°
E109.753418°		 →
↑
255.67 m
↓
↑
255.67 m
↓
S 65.256707°
E109.747925°		 ← 255.65 m →
65 364 m²		 S 65.256707°
E109.753418°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52747 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48591 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.804862976074219 y=0.741447448730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.804862976074219 × 216)
    floor (0.804862976074219 × 65536)
    floor (52747.5)     		tx = 52747
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.741447448730469 × 216)
    floor (0.741447448730469 × 65536)
    floor (48591.5)     		ty = 48591
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52747 / 48591 ti = "16/52747/48591"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52747/48591.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52747 ÷ 216
    52747 ÷ 65536     		x = 0.804855346679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48591 ÷ 216
    48591 ÷ 65536     		y = 0.741439819335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.804855346679688 × 2 - 1) × π
    0.609710693359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.91546264
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.741439819335938 × 2 - 1) × π
    -0.482879638671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.5170111253763
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91546264} λ = 1.91546264}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5170111253763))-π/2
    2×atan(0.219366567252321)-π/2
    2×0.215946034775041-π/2
    0.431892069550083-1.57079632675     		φ = -1.13890426
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91546264} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.747925°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13890426 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.254407°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52747 KachelY 48591 1.91546264 -1.13890426 109.747925 -65.254407
    Oben rechts KachelX + 1 52748 KachelY 48591 1.91555851 -1.13890426 109.753418 -65.254407
    Unten links KachelX 52747 KachelY + 1 48592 1.91546264 -1.13894439 109.747925 -65.256707
    Unten rechts KachelX + 1 52748 KachelY + 1 48592 1.91555851 -1.13894439 109.753418 -65.256707
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13890426--1.13894439) × R
    4.01300000001381e-05 × 6371000     		dl = 255.66823000088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13890426--1.13894439) × R
    4.01300000001381e-05 × 6371000     		dr = 255.66823000088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91546264-1.91555851) × cos(-1.13890426) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.418589879134569 × 6371000     		do = 255.669578821167m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91546264-1.91555851) × cos(-1.13894439) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.418553433719698 × 6371000     		du = 255.647318407492m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13890426)-sin(-1.13894439))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.418589879134569-0.418553433719698)×R²
    abs(1.91555851-1.91546264)×3.64454148705784e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.64454148705784e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.64454148705784e-05×40589641000000     		ar = 65363.7430505915m²