Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 52744 / 11704
↖ ↑ ↗
← N 81.338154°
W 35.134277°		 ← 46 m → N 81.338154°
W 35.131531°		 →
↑
45.93 m
↓
↑
45.93 m
↓
N 81.337741°
W 35.134277°		 ← 46 m →
2 113 m²		 N 81.337741°
W 35.131531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52744 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11704 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.402408599853516 y=0.0892982482910156 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.402408599853516 × 217)
    floor (0.402408599853516 × 131072)
    floor (52744.5)     		tx = 52744
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0892982482910156 × 217)
    floor (0.0892982482910156 × 131072)
    floor (11704.5)     		ty = 11704
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52744 / 11704 ti = "17/52744/11704"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52744/11704.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52744 ÷ 217
    52744 ÷ 131072     		x = 0.40240478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11704 ÷ 217
    11704 ÷ 131072     		y = 0.08929443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40240478515625 × 2 - 1) × π
    -0.1951904296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.61320882
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08929443359375 × 2 - 1) × π
    0.8214111328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.58053918034686
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61320882} λ = -0.61320882}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58053918034686))-π/2
    2×atan(13.2042557158397)-π/2
    2×1.49520746084665-π/2
    2.9904149216933-1.57079632675     		φ = 1.41961859
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61320882} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.134277°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41961859 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.338154°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52744 KachelY 11704 -0.61320882 1.41961859 -35.134277 81.338154
    Oben rechts KachelX + 1 52745 KachelY 11704 -0.61316088 1.41961859 -35.131531 81.338154
    Unten links KachelX 52744 KachelY + 1 11705 -0.61320882 1.41961138 -35.134277 81.337741
    Unten rechts KachelX + 1 52745 KachelY + 1 11705 -0.61316088 1.41961138 -35.131531 81.337741
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41961859-1.41961138) × R
    7.20999999992422e-06 × 6371000     		dl = 45.9349099995172m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41961859-1.41961138) × R
    7.20999999992422e-06 × 6371000     		dr = 45.9349099995172m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61320882--0.61316088) × cos(1.41961859) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.150602540644494 × 6371000     		do = 45.9978924221943m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61320882--0.61316088) × cos(1.41961138) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.150609668406156 × 6371000     		du = 46.0000694240746m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41961859)-sin(1.41961138))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150602540644494-0.150609668406156)×R²
    abs(-0.61316088--0.61320882)×7.12776166214568e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.12776166214568e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.12776166214568e-06×40589641000000     		ar = 2112.95904890564m²