Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52742 / 48589
↖ ↑ ↗
← S 65.249808°
E109.720459°		 ← 255.71 m → S 65.249808°
E109.725952°		 →
↑
255.67 m
↓
↑
255.67 m
↓
S 65.252108°
E109.720459°		 ← 255.69 m →
65 375 m²		 S 65.252108°
E109.725952°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52742 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48589 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.804786682128906 y=0.741416931152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.804786682128906 × 216)
    floor (0.804786682128906 × 65536)
    floor (52742.5)     		tx = 52742
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.741416931152344 × 216)
    floor (0.741416931152344 × 65536)
    floor (48589.5)     		ty = 48589
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52742 / 48589 ti = "16/52742/48589"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52742/48589.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52742 ÷ 216
    52742 ÷ 65536     		x = 0.804779052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48589 ÷ 216
    48589 ÷ 65536     		y = 0.741409301757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.804779052734375 × 2 - 1) × π
    0.60955810546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.91498327
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.741409301757812 × 2 - 1) × π
    -0.482818603515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.51681937777782
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91498327} λ = 1.91498327}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51681937777782))-π/2
    2×atan(0.219408634297777)-π/2
    2×0.215986170071762-π/2
    0.431972340143524-1.57079632675     		φ = -1.13882399
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91498327} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.720459°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13882399 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.249808°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52742 KachelY 48589 1.91498327 -1.13882399 109.720459 -65.249808
    Oben rechts KachelX + 1 52743 KachelY 48589 1.91507914 -1.13882399 109.725952 -65.249808
    Unten links KachelX 52742 KachelY + 1 48590 1.91498327 -1.13886412 109.720459 -65.252108
    Unten rechts KachelX + 1 52743 KachelY + 1 48590 1.91507914 -1.13886412 109.725952 -65.252108
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13882399--1.13886412) × R
    4.01300000001381e-05 × 6371000     		dl = 255.66823000088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13882399--1.13886412) × R
    4.01300000001381e-05 × 6371000     		dr = 255.66823000088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91498327-1.91507914) × cos(-1.13882399) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.418662777023356 × 6371000     		do = 255.714103960097m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91498327-1.91507914) × cos(-1.13886412) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.418626332956921 × 6371000     		du = 255.691844370029m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13882399)-sin(-1.13886412))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.418662777023356-0.418626332956921)×R²
    abs(1.91507914-1.91498327)×3.64440664354371e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.64440664354371e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.64440664354371e-05×40589641000000     		ar = 65375.1268194068m²