Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 52740 / 11777
↖ ↑ ↗
← N 81.307906°
W 35.145264°		 ← 46.16 m → N 81.307906°
W 35.142517°		 →
↑
46.13 m
↓
↑
46.13 m
↓
N 81.307491°
W 35.145264°		 ← 46.16 m →
2 129 m²		 N 81.307491°
W 35.142517°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52740 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11777 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.402378082275391 y=0.0898551940917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.402378082275391 × 217)
    floor (0.402378082275391 × 131072)
    floor (52740.5)     		tx = 52740
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0898551940917969 × 217)
    floor (0.0898551940917969 × 131072)
    floor (11777.5)     		ty = 11777
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52740 / 11777 ti = "17/52740/11777"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52740/11777.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52740 ÷ 217
    52740 ÷ 131072     		x = 0.402374267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11777 ÷ 217
    11777 ÷ 131072     		y = 0.0898513793945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.402374267578125 × 2 - 1) × π
    -0.19525146484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.61340057
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0898513793945312 × 2 - 1) × π
    0.820297241210938 × 3.1415926535     		Φ = 2.5770397866746
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61340057} λ = -0.61340057}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.5770397866746))-π/2
    2×atan(13.1581295807641)-π/2
    2×1.49494349575062-π/2
    2.98988699150124-1.57079632675     		φ = 1.41909066
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61340057} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.145264°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41909066 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.307906°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52740 KachelY 11777 -0.61340057 1.41909066 -35.145264 81.307906
    Oben rechts KachelX + 1 52741 KachelY 11777 -0.61335263 1.41909066 -35.142517 81.307906
    Unten links KachelX 52740 KachelY + 1 11778 -0.61340057 1.41908342 -35.145264 81.307491
    Unten rechts KachelX + 1 52741 KachelY + 1 11778 -0.61335263 1.41908342 -35.142517 81.307491
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41909066-1.41908342) × R
    7.23999999996394e-06 × 6371000     		dl = 46.1260399997703m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41909066-1.41908342) × R
    7.23999999996394e-06 × 6371000     		dr = 46.1260399997703m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61340057--0.61335263) × cos(1.41909066) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.151124428271159 × 6371000     		do = 46.1572903368722m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61340057--0.61335263) × cos(1.41908342) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.151131585113974 × 6371000     		du = 46.1594762208851m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41909066)-sin(1.41908342))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151124428271159-0.151131585113974)×R²
    abs(-0.61335263--0.61340057)×7.15684281524243e-06×R²
    4.79400000000796e-05×7.15684281524243e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×7.15684281524243e-06×40589641000000     		ar = 2129.10343359021m²