Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 52739 / 11773
↖ ↑ ↗
← N 81.309566°
W 35.148010°		 ← 46.14 m → N 81.309566°
W 35.145264°		 →
↑
46.13 m
↓
↑
46.13 m
↓
N 81.309151°
W 35.148010°		 ← 46.14 m →
2 128 m²		 N 81.309151°
W 35.145264°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52739 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11773 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.402370452880859 y=0.0898246765136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.402370452880859 × 217)
    floor (0.402370452880859 × 131072)
    floor (52739.5)     		tx = 52739
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0898246765136719 × 217)
    floor (0.0898246765136719 × 131072)
    floor (11773.5)     		ty = 11773
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52739 / 11773 ti = "17/52739/11773"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52739/11773.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52739 ÷ 217
    52739 ÷ 131072     		x = 0.402366638183594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11773 ÷ 217
    11773 ÷ 131072     		y = 0.0898208618164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.402366638183594 × 2 - 1) × π
    -0.195266723632812 × 3.1415926535     		Λ = -0.61344850
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0898208618164062 × 2 - 1) × π
    0.820358276367188 × 3.1415926535     		Φ = 2.57723153427308
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61344850} λ = -0.61344850}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.57723153427308))-π/2
    2×atan(13.1606528624205)-π/2
    2×1.49495798325021-π/2
    2.98991596650042-1.57079632675     		φ = 1.41911964
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61344850} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.148010°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41911964 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.309566°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52739 KachelY 11773 -0.61344850 1.41911964 -35.148010 81.309566
    Oben rechts KachelX + 1 52740 KachelY 11773 -0.61340057 1.41911964 -35.145264 81.309566
    Unten links KachelX 52739 KachelY + 1 11774 -0.61344850 1.41911240 -35.148010 81.309151
    Unten rechts KachelX + 1 52740 KachelY + 1 11774 -0.61340057 1.41911240 -35.145264 81.309151
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41911964-1.41911240) × R
    7.23999999996394e-06 × 6371000     		dl = 46.1260399997703m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41911964-1.41911240) × R
    7.23999999996394e-06 × 6371000     		dr = 46.1260399997703m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61344850--0.61340057) × cos(1.41911964) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.151095781050303 × 6371000     		do = 46.1389144258774m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61344850--0.61340057) × cos(1.41911240) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.151102937924824 × 6371000     		du = 46.1410998636097m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41911964)-sin(1.41911240))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151095781050303-0.151102937924824)×R²
    abs(-0.61340057--0.61344850)×7.15687452118585e-06×R²
    4.79299999999183e-05×7.15687452118585e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×7.15687452118585e-06×40589641000000     		ar = 2128.25581508573m²