Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 52738 / 11776
↖ ↑ ↗
← N 81.308321°
W 35.150757°		 ← 46.16 m → N 81.308321°
W 35.148010°		 →
↑
46.19 m
↓
↑
46.19 m
↓
N 81.307906°
W 35.150757°		 ← 46.16 m →
2 132 m²		 N 81.307906°
W 35.148010°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52738 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11776 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.402362823486328 y=0.0898475646972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.402362823486328 × 217)
    floor (0.402362823486328 × 131072)
    floor (52738.5)     		tx = 52738
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0898475646972656 × 217)
    floor (0.0898475646972656 × 131072)
    floor (11776.5)     		ty = 11776
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52738 / 11776 ti = "17/52738/11776"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52738/11776.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52738 ÷ 217
    52738 ÷ 131072     		x = 0.402359008789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11776 ÷ 217
    11776 ÷ 131072     		y = 0.08984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.402359008789062 × 2 - 1) × π
    -0.195281982421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.61349644
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08984375 × 2 - 1) × π
    0.8203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.57708772357422
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.61349644} λ = -0.61349644}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.57708772357422))-π/2
    2×atan(13.1587603558195)-π/2
    2×1.49494711788296-π/2
    2.98989423576593-1.57079632675     		φ = 1.41909791
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.61349644} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -35.150757°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41909791 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.308321°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52738 KachelY 11776 -0.61349644 1.41909791 -35.150757 81.308321
    Oben rechts KachelX + 1 52739 KachelY 11776 -0.61344850 1.41909791 -35.148010 81.308321
    Unten links KachelX 52738 KachelY + 1 11777 -0.61349644 1.41909066 -35.150757 81.307906
    Unten rechts KachelX + 1 52739 KachelY + 1 11777 -0.61344850 1.41909066 -35.148010 81.307906
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41909791-1.41909066) × R
    7.25000000012521e-06 × 6371000     		dl = 46.1897500007977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41909791-1.41909066) × R
    7.25000000012521e-06 × 6371000     		dr = 46.1897500007977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.61349644--0.61344850) × cos(1.41909791) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.151117261535263 × 6371000     		do = 46.1551014312579m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.61349644--0.61344850) × cos(1.41909066) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.151124428271159 × 6371000     		du = 46.1572903368722m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41909791)-sin(1.41909066))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151117261535263-0.151124428271159)×R²
    abs(-0.61344850--0.61349644)×7.16673589540306e-06×R²
    4.79400000000796e-05×7.16673589540306e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×7.16673589540306e-06×40589641000000     		ar = 2131.94314872512m²