Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 52733 / 27148
↖ ↑ ↗
← N 29.477861°
E109.671020°		 ← 531.77 m → N 29.477861°
E109.676514°		 →
↑
531.72 m
↓
↑
531.72 m
↓
N 29.473079°
E109.671020°		 ← 531.80 m →
282 764 m²		 N 29.473079°
E109.676514°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52733 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27148 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.804649353027344 y=0.414253234863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.804649353027344 × 216)
    floor (0.804649353027344 × 65536)
    floor (52733.5)     		tx = 52733
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.414253234863281 × 216)
    floor (0.414253234863281 × 65536)
    floor (27148.5)     		ty = 27148
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 52733 / 27148 ti = "16/52733/27148"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/52733/27148.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52733 ÷ 216
    52733 ÷ 65536     		x = 0.804641723632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27148 ÷ 216
    27148 ÷ 65536     		y = 0.41424560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.804641723632812 × 2 - 1) × π
    0.609283447265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.91412040
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41424560546875 × 2 - 1) × π
    0.1715087890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.538810751729431
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.91412040} λ = 1.91412040}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.538810751729431))-π/2
    2×atan(1.7139673169949)-π/2
    2×1.04264103054718-π/2
    2.08528206109437-1.57079632675     		φ = 0.51448573
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.91412040} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 109.671020°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.51448573 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.477861°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52733 KachelY 27148 1.91412040 0.51448573 109.671020 29.477861
    Oben rechts KachelX + 1 52734 KachelY 27148 1.91421628 0.51448573 109.676514 29.477861
    Unten links KachelX 52733 KachelY + 1 27149 1.91412040 0.51440227 109.671020 29.473079
    Unten rechts KachelX + 1 52734 KachelY + 1 27149 1.91421628 0.51440227 109.676514 29.473079
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.51448573-0.51440227) × R
    8.34599999999242e-05 × 6371000     		dl = 531.723659999517m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.51448573-0.51440227) × R
    8.34599999999242e-05 × 6371000     		dr = 531.723659999517m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.91412040-1.91421628) × cos(0.51448573) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.870545903098978 × 6371000     		do = 531.774253315598m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.91412040-1.91421628) × cos(0.51440227) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.87058696966626 × 6371000     		du = 531.799338889001m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.51448573)-sin(0.51440227))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.870545903098978-0.87058696966626)×R²
    abs(1.91421628-1.91412040)×4.10665672821997e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.10665672821997e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.10665672821997e-05×40589641000000     		ar = 282763.621727063m²